О ВЗВЕШЕННОМ ЧИСЛЕ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА НЕКОТОРЫХ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛОИДАХ

В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвеши- вающая функция выбрана как экспонента, в показателе которой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных форм с одними и тем же дискриминантом. Выбор такого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопроса о числе целых точек лежащих в некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах. Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных сумм Гаусса, мы рассматриваем многомерную задачу о взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специ- ального вида. Речь идёт об асимптотике с остаточным членом для величины Ih (n, s) = ∑ p(x,y,z,t)=h e − ω(x,y,z,t) n , где n → ∞ — вещественный параметр, p ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } , ω ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } , Q (1) i , Q(2) i — положительные целочисленные бинарные квадратичные фор- мы одного и того же дискриминанта δF ; h ̸= 0 — целое число. При выводе асимптотической формулы для Ih (n, s) существенно ис- пользуются: 1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы (в нашем случае достаточно использовать двойной Θ-ряд вместо многомер- ного) 2) формула для 1 q( ∫q+N) − 1 q(q+N) e −2πihx ( 1 n2 + 4π 2x 2 )S dx 3) оценка для суммы Клостермана K (u, v; q) = ∑ x mod q ′ e 2πi q ( ux+vx ′ ) , где ll′ ≡ (mod q). Полученная асимптотическая формула для Ih (n, s) обобщает один из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на че- тырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов со- ответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в слу- чае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает также один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональ- ных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W (N), для которого дана только оценка сверху, при этом в нашем случае N = [√ n]. В дальнейшем результат о величине Ih (n, s) може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.

1. Боревич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. Изд. 3-е., Москва, 1985. 503 с.

2. Виноградов И. М. Основы теории чисел, М.: Изд. «Наука». 1981. 168 с.

3. Головизин В. В. О распределении целых точек на гиперболических поверхностях второго порядка Зап. научн. семин. ЛОМИ, 106 (1981), с. 52–69.

4. Гриценко С. А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле Чебышевский. Сборник, 4, вып. 2(6) (2003), с. 55–67.

5. Касселс Дж. Рациональные квадратичные формы. М.: «Мир». 1982. 436 с.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: «Мир». 1983. 240 с.

7. Куртова Л. Н. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами // Вестник Самарского госуниверситета. Естественно-научная серия. Математика, № 7(57) (2007), с. 107–121.

8. Малышев А. В. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами // Труды Математического ин-та АНССР, 65 (1962), 212 с.

9. Малышев А. В. О представлении целых чисел квадратичными формами // Труды четвёртого всесоюзного математического съезда, 2 (1964), с. 118–124.

10. Малышев А. В. О взвешенном количестве целых точек, лежащих на поверхности второго порядка // Зап. научн. семин. ЛОМИ. 1 (1966), с. 6–83.

11. Пачев У. М., ДоховР. А. О двойных суммах Гаусса, соответствующих классам идеалов мнимого квадратичного поля // Научные ведомости Бел- ГУ, 19(162), вып. 32, (2013), С. 108–119.

12. Свешников С. А., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: «Наука». 1967. 304 с.

13. Dolciani M. P. On the representation of integers by quadratic forms // Thesis Ithaca, New York, 1947. P. 1–56.

14. Ogg A. P. Modular Forms and Dirichlet Series. New York, W.A. Benjamin Inc., 1969. 211 p.

15. Hardy G. H., Wrigth E. M. An introduction to theory of numbers, Oxford, 1938. 421 p.

16. Siegel C. L. Equivalence of quadratic forms. Amer. I. Math., 63 (1941), P. 658– 680.