Оператор сплетения для обобщенного преобразования Данкля на прямой

Аннотация

В гармоническом анализе на прямой со степенным весом сначала появилось унитарное преобразование Данкля, зависящее от одного параметра 𝑘 ⩾ 0, а затем двупараметрическое (𝑘, 𝑎)-обобщенное преобразование Фурье, частным случаем которого является преобразование Данкля (𝑎 = 2). Наличие параметра 𝑎 > 0 при 𝑎 ̸= 2 приводит к появлению
деформационных свойств, например, для функций из пространства Шварца обобщенное преобразование Фурье может не быть бесконечно дифференцируемым или быстро убывающим на бесконечности. В случае последовательности 𝑎=2/(2𝑟+ 1), 𝑟 ∈ Z+, деформационные свойства обобщенного преобразования Фурье весьма слабые и после некоторой замены переменных они исчезают. Получаемое унитарное преобразование при 𝑟 = 0 дает обычное преобразование Данкля и обладает многими его свойствами. Оно названо обобщенным преобразованием Данкля. В работе определен оператор сплетения, устанавливающий связь дифференциально-разностного оператора второго порядка, для которого ядро обобщенного преобразования Данкля является собственной функцией, с одномерным оператором Лапласа и позволяющий записать ядро в удобном для его оценок виде. В отличие от оператора сплетения для преобразования Данкля он имеет ненулевое ядро. В работе также на основе свойств обобщенного преобразования Данкля устанавливаются свойства
(𝑘, 𝑎)-обобщенного преобразования Фурье при 𝑎=2/(2𝑟 + 1).