О МИНИМАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ОСТАТОЧНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

В работе изучается вид и свойства минимальных многочленов остато ных дробей в разложении алгебраических чисел в цепные дроби. Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей. Дано определение обобщённого числа Пизо, которое отличается от определения чисел Пизо отсутствием требования целочисленности. Показано, что для произвольной вещественной алгебраической иррациональности α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью обобщённых чисел Пизо. Найдена асимптотическая формула для сопряжённых чисел к остаточным дробям обобщённых чисел Пизо. Из этой формулы вытекает, что сопряжённые к остаточной дроби αm концентрируются около дроби − Qm−2 Qm−1 либо в интервале радиуса O ( 1 Q2 m−1 ) в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности, либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной алгебраической иррациональности, имеющей ком- плексные сопряжённые числа. Установлено, что, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), справед- лива рекуррентная формула для неполных частных qm разложения вещественной алгебраической иррациональности α, выражающая qm че- рез значения минимального многочлена fm−1(x) для остаточной дроби αm−1 и его производной в точке qm−1. Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробнолинейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дро- би, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби − Qm−2 Qm−1 . Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами. В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках.

1. А. Г. Александров Исследование на ЭВМ непрерывных дробей // Алгоритмические исследования в комбинаторике. М.: Наука. 1978. С. 142–161, 187.

2. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Матем. тр. 2007. Т. 10, № 1. С. 97–131.

3. А. Д. Брюно Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Жур. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т. 4, № 2. С. 211–221.

4. А. Д. Брюно Универсальное обобщение алгоритма цепной дроби // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 2. С. 35–65.

5. Г. Вейль Алгебраическая теория чисел. М.: Гос. из-во И. Л. 1947. 226 с.

6. Н. М. Добровольский Гиперболическая дзета-функция решёток // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.

7. Н. М. Добровольский Квадратурные формулы на классах E α s (c) и Hα s (c) // Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.

8. Н. М. Добровольский О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, вып. 1. С. 176–190.

9. Н. М. Добровольский, Д. К. Соболев, В. Н. Соболева О матричном разложении приведенной кубической иррациональности // Чебышевский сб. 2013. Т. 14, вып. 1. С. 34–55.

10. Н. М. Добровольский, Е. И. Юшина О приведенных алгебраических иррациональностях // Алгебра и приложения: труды Международной конференции по алгебре, посвященной 100-летию со дня рождения Л. А. Калужнина, Нальчик, 6–11 сентября 2014 г. – Нальчик: из-во КБГУ. С. 44 – 46.

11. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Е. И. Юшина О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях // Чебышевский сб. 2012. Т. 13, вып. 3. С. 47–52.

12. В. Д. Подсыпанин О разложении иррациональностей четвертой степени в непрерывную дробь // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 43—46.

13. Е. В. Подсыпанин, Об одном обобщении алгоритма цепных дробей, связанном с алгоритмом Вигго Бруна // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1977. Т. 67. С. 184–194.

14. Е. В. Подсыпанин О разложении иррациональностей высших степеней в обобщенную непрерывную дробь (по материалам В. Д. Подсыпанина) рукопись 1970 // Чебышевский сб. 2007. Т. 8, вып. 3(23). С. 47—49.

15. В. В. Прасолов Многочлены. — 3-е изд., исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с.

16. Е. В. Триколич, Е. И. Юшина, Цепные дроби для квадратических иррациональностей из поля Q( √ 5) // Чебышевский сб.2009. Т. 10, вып. 1. С. 77–94.

17. К. К. Фролов Оценки погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231, №. 4. С. 818—821.

18. К. К. Фролов Квадратурные формулы на классах функций: дис. . . . к- та физ.-мат. наук. М: ВЦ АН СССР. 1979.

19. Е. И. Юшина О некоторых приведенных алгебраических иррациональностях // Современные проблемы математики, механики, информатики: материалы Региональной научной студенческой конференции. Тула: ТулГУ 2015. С. 66–72.

20. K. F. Roth Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. Vol. 2. P. 1–20. corrigendum: p. 168.