Вариационное исчисление в целом: рождение, становление, приложения
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-263-288
Аннотация
Работа посвящена эволюции понятий и методов вариационного исчисления в целом – раздела математики, возраст которого составляет немного более столетия. Предметом этой области является изучение качественных характеристик вариационных задач. В развитии вариационного исчисления в целом можно выделить несколько периодов с присущими каждому из них чертами. Первый период определим с конца XIX в. до конца 1940-х гг., когда происходит рождение и становление теории, которая сложилась из двух главных частей – теории Морса и теории категорий Люстерника-Шнирельмана. Здесь еще заметно
выступают черты традиционной математики. В следующий период – с конца 1940-х до конца 1970-х гг. вариационное исчисление в целом сформировалась как отдельная область математики, и она обрела свою современную форму, основанную на понятиях и методах алгебраической топологии. Открылись широкие возможности для решения новых задач математики и был получен целый ряд впечатляющих результатов. Современный период
можно определить с конца 1970-х гг. до настоящего времени. Главной его чертой является невиданное ранее сближение математики и области ее приложений, особенно с физикой.
Не всегда стало возможным указать различимую границу между обеими областями науки, появился даже термин «физическая математика». Вариационное исчисление в целом входит в качественную теорию, представляющей значительную часть современной математики и находит широкие применения в приложениях. Но ее место еще более значительно, оно составляет одну из основ, формирующей наше мировоззрение.
При поддержке: Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект 20-011-00402 А).
Об авторах
Анна Вячеславовна БоеваРоссия
Равиль Рафкатович Мухин
Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Campbell L., Garnett W. The life of James Clerk Maxwell. L.: MacMillan and Co., 1882. 342 p.
2. Maxwell J.C. On the transformations of surfaces by bending // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 1. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 80-114.
3. Maxwell J.C. Faraday // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 355-360.
4. Maxwell J.C. On Hills and Dales // The scientific papers of James Clerk Maxwell. Ed. W.D. Niven. V. 2. N.Y.: Dover Publ., 1965. Pp. 233-240.
5. Cayley A. On Contour and Slope Lines // Phil. Mag. 1859. V. XVIII. Pp. 264-268.
6. Мухин Р.Р. О теореме Пуанкаре-Биркгофа как важнейшем результате теории динамических систем // Чебышев. сб. 2022. Т. 23. № 1. С. 209-222.
7. Poincar´e, H. Sur les lignes g´eod´esiques des surfaces convexes // Trans. AMS. V. 6. Pp. 237-274.
8. Jacobi C.G. Note von der geod¨atischen Linie auf einem Ellipsoid und der verschiedenen Anwendungen einer merkw¨urdigen Substitution // Crelles J. 1839. V. 19. S. 309-313.
9. Darboux G. Le¸con sur sur la th´eorie des surfaces. 3 partie. Paris: Gauthier-Villars, 1894.
10. Hadamard J. Les surfaces `a courbures oppose´es et leurs lignes g´eod´esiques // J. Math. pures et appl. 1898. V. 4. Pp. 27-73.
11. Briefe Jacobi’s an Bessel // C.G.J. Jacobi’s Gesammelte Werke. 7 B. Berlin: Druck und Verlag von Georg Reiner. 1891. S. 377-386.
12. Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pures et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244; 1886.
13. V. 2. P. 151-217. Рус. пер.: Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
14. Morse M. The calculus of variations in the large. N.Y.: AMS, 1934. 360 p.
15. Погребысский И.Б. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях // Анри Пуанкаре. Избр. труды. Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 982-983.
16. Birkhoff, G.D. An extension of Poincare’s last geometric theorem // Acta. Math. 1926. V. 47. Рp. 297-311.
17. Birkhoff, G.D. Dynamical systems with two degrees of freedom // Trans. AMS. 1917. V. 18. Pp. 199-300 / G.D. Birkhoff. Coll. math. papers. V. 2. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 1-102.
18. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус. пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
19. Morse M. Relations between the critical points of a real functiond of n independent variables // Trans. AMS. 1925. V. 22. Pp. 84-110.
20. Morse M. The foundations of a theory of the calculus of variations in the large // Trans. AMS. 1928. V. 30. Pp. 213-274.
21. Lefschetz S. Continuous transformations of manifolds // Proc. National Acad. Sci. 1925. V. 11. Pp. 290-292.
22. Hopf H. Vectorfelder in n-dimensionalen Mannigfoltigkeiten // Math. Ann. 1926. V. 96. S. 225-251.
23. Morse M. The calculus of variations in the large // Mat. Congr. Zurick, 1932. Pp. 173-188.
24. Lusternik L. Sur quelque m´ethodes topologiques dans le g´eom´etrie differentielle // Acti. Congr. Inter. Mat. Bologna. 1928. V. 4. Pp. 291-296.
25. Lusternik L., Schnirelmann L. Sur un principe topologique en analyse // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 295-298.
26. Lusternik L., Schnirelmann L. Existence des trois g´eod´esiques ferm´ees sur tout surfaces de genre 0 // Comp. Ren.. 1929. V. 188. Pp. 269-271.
27. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах. М.: Госиздат, 1930. 68 с.
28. Люстерник Л.А., Шнирельман Л.Г. Топологические методы в вариационных задачах и их
29. приложения к дифференциальной геометрии поверхностей // УМН. 1947. Т. 2. В. 1(17).
30. С. 166-217.
31. Шварц А.С. Топология пространств замкнутых кривых // Тр. ММО. 1960. Т. 9. С. 3-44.
32. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.: Наука, 1987. 435 с.
33. Thom R. Sur une partition en cellules associ´ee a une function sur une vari´et´e // Comp. Ren.
34. T. 228. Pp. 973-975.
35. Tu L.V. The life and works of Raoul Bott // The founders of index theory. Ed. S.-T. Yau.
36. Sommerville, MA: Int. Press, 2003. Pp. 85-112.
37. Bott R. Morse theory indominable // Publ. Math. IHES. 1988. V. 68. Pp. 99-114.
38. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965. 186 с.
39. Bott R. An application of the Morse theory to the topology of Lie-groops // Bull. SMF. 1956.
40. V. 84. Pp. 251-281.
41. Bott R. The stable homotopy of the classical groops // Ann. Math. 1959. V. 70. N 2. Pp.
42. -337.
43. Atyah M. Obituary Raoul Bott // Bull. London Math. Soc. 2010. V. 42. Pp. 170-180.
44. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С.247-252.
45. Smale S. Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio // Chaos Avant-Gard. Singapore: World Sci., 2000. Pp. 7-22.
46. Smale S. Morse inequalities for the dynamical system // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 43-49 / Рус. пер.: Смейл С. Неравенства Морса для динамических систем / Математика. 1967. Т. 11. В. 4. С. 79-87.
47. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32–71.
48. Smale S. Generalized Poincare conjecture in a higher dimensions // Bull. AMS. 1960. V. 66. Pp. 373-375.
49. Smale S. Generalized Poincare conjecture in dimensions greater than four // Ann. Math. 1961. V. 74. Pp. 391-406.
50. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8. N 4. Pp. 385-404.
51. Palis J., Smale S. Structural stability theorems // Global Analysis. Proc. Simp. Pure Math. Providence, RI. 1970. V. 14. Pp. 223-231.
52. Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. V. 74. N 1. Pp. 199-206.
53. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Тр. Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365–366.
54. Smale S. A structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 88. N 2. Pp. 491-496 / Рус. пер.: Смейл С. Грубые системы не плотны / Математика. 1967. Т. 11, № 4. С. 107–112.
55. Dirac P.A. M. Quantized singularities in the electromagnetic field // Proc. Roy. Soc. 1931 V. 31. V. 133. Pp. 60-72.
56. Смейл С. Топология и механика // УМН. 1972. Т. 27. В. 2(164). С. 77-133.
57. Palmore J.L. Classifying relative equilibria // Bull. AMS. 1973. V. 79. Pp. 904-908; 1975. V. 81. Pp. 488-491.
58. Козлов В.В. Вариационное исчисление в целом и классическая механика // УМН. 1985. Т. 40. В. 2(242). С. 33-60.
59. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. Т. 38. В. 1. С. 3-67.
60. Козлов В.В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных механических систем // ДАН СССР. 1979. Т. 249. № 6. С. 1299-1302.
61. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.
62. Новиков С.П. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории Морса // ДАН СССР. 1981. Т. 260. № 1. С. 31-34.
63. Новиков С.П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа для свободного движения твердого тела в жидкости и расширенная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ) // Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15. В. 3. С. 54-66.
64. Новиков С.П. Вариационные методы и периодические решения уравнений типа Кирхгофа // Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15. В. 4. С. 37-52.
65. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. М.: Из-во АН СССР, 1962. 402 с.
66. Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. Дом «Удмурт. ун-т», 1999. 464 с.
67. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. Т. 37. В. 5(227). С. 3-49.
68. Michel L., Mozrzymas B. Application of Morse theory to the symmetry breaking in the Landau theory of second order phase transition // Group theoretical methods in physics. Lecture notes in physics. Berlin: Springer-Verlag, 1978. Pp. 447-461.
69. Belavin A.A., Polyakov A.M., Schwarz A.S., Tyupkin Y.S. Pseudopartical solutions of the Yang-Mills equations // Phys. Lett. 1975. V. 59B. Pp. 85-87.
70. Поляков А. М. Спектр частиц в квантовой теории поля // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20. В. 6. С. 430—433.
71. Atyah M. Geometry of Yang-Mills fields. Fermi lecture // Michel Atyah. Collected works. V. 5. Oxford: Clarendon Press, 1988. Pp. 75-174.
72. Atyah M., Bott R. The Yang-Mills equations over Riemann surfaces // Phil. Trans. Soc. Lond. 1982. V. A 308. Pp. 523-615.
73. Witten E. Supersymmetry and MORSE Theory // J. Dif. Geometry. 1982. V. 17(4). Pp. 661- 692.
74. Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS. 1983. V. 8. Pp. 81-83.
75. Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.
76. Бурбаки Н, Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.
77. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math. Phys. 1983. V. 90. Pp. 161-173.
78. Монастырский М.И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. М.: Янус-К, 2000. 200 с.
Рецензия
Для цитирования:
Боева А.В., Мухин Р.Р. Вариационное исчисление в целом: рождение, становление, приложения. Чебышевский сборник. 2023;24(3):251-276. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-263-288
For citation:
Boeva A.V., Mukhin R.R. Calculus of variations in the large: birth, formation, applications. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(3):251-276. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-3-263-288
Просмотров:
258
Послать статью по эл. почте 