Устойчивость границы в проблеме Ферма — Штейнера в гиперпространствах над конечномерными нормированными пространствами

Проблема Ферма — Штейнера состоит в поиске всех точек метрического пространства 𝑌 таких, что сумма расстояний от каждой из них до точек из некоторого фиксированного конечного подмножества 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} пространства 𝑌 минимальна. В настоящей работе эта проблема рассматривается в случае, когда 𝑌 = ℋ(𝑋) — это пространство непустых компактных подмножеств конечномерного нормированного пространства 𝑋, наделённое
метрикой Хаусдорфа, то есть ℋ(𝑋) является гиперпространством над 𝑋. Множество 𝐴 называют границей, все 𝐴𝑖 — граничными множествами, а компакты, которые реализуют минимум суммы расстояний до 𝐴𝑖 — компактами Штейнера.
В данной статье изучается вопрос устойчивости в проблеме Ферма — Штейнера при переходе от границы из конечных компактов 𝐴𝑖 к границе, состоящей из их выпуклых оболочек Conv(𝐴𝑖). Под устойчивостью здесь имеется в виду, что при переходе к выпуклым оболочкам граничных компактов минимум суммы расстояний 𝑆𝐴 не изменится.
В работе было продолжено изучение геометрических объектов, а именно, множеств сцепки, возникающих в проблеме Ферма — Штейнера. Также были выведены три различных достаточных условия неустойчивости границы из ℋ(𝑋), два из которых опи-
раются на построенную теорию таких множеств. Для случая неустойчивой границы 𝐴 = {𝐴1, . . . ,𝐴𝑛} был разработан метод поиска деформаций некоторого элемента из ℋ(𝑋), которые приводят к компактам, дающим меньшее значение суммы расстояний до Conv(𝐴𝑖), чем 𝑆𝐴.
Построенная в рамках данного исследования теория была применена к одной известной из недавних работ границе 𝐴 ⊂ ℋ(R2), а именно, была доказана её неустойчивость и были
найдены компакты, реализующие меньшую, чем 𝑆𝐴, сумму расстояний до Conv(𝐴𝑖).

1. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Branching solutions to one–dimensional variational problems // World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2001, xxii+342 pp.

2. Cieslik D. Steiner minimal trees // Nonconvex Optim. Appl., 23, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998, xii+319 pp.

3. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Minimal networks: a review // Advances in dynamical systems and control, Stud. Syst. Decis. Control, 69, Springer, Cham, 2016, 43–80 pp.

4. Hwang F. K., Richards D. S., Winter P. The Steiner Tree Problem // North–Holland, 1992, 339 p.

5. Jarnik V., K¨ossler M. On minimal graphs containing n given points // ˇCasopis ˇPest. Mat. Fys., 63:8 (1934), 223–235 pp.

6. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов, 3-е изд., испр. и доп. // МЦНМО, М., 2001, 568 с.

7. A. Ivanov A., Tropin A., Tuzhilin A. Fermat–Steiner problem in the metric space of compact sets endowed with Hausdorff distance // J. Geom., 108:2 (2017), 575–590.

8. Nadler S. B. Hyperspaces of sets // Marcel Dekker Inc., New York and Basel, 1978, 707 p.

9. Blackburn C. C., Lund K., Schlicker S., Sigmon P., Zupan A. An introduction to the geometry of ℋ(R𝑛) // GVSU REU 2007, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2007.

10. Memoli F. On the use of Gromov–Hausdorff distances for shape comparison // Eurographics symposium on point based graphics, The Eurographics Association, Prague, 2007, 81–90.

11. Memoli F. Some properties of Gromov–Hausdorff distances // Discrete Comput. Geom., 48:2 (2012), 416–440.

12. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Isometry group of Gromov–Hausdorff space // Mat. Vesnik, 71:1-2 (2019), 123–154.

13. Galstyan A. Kh., Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. The Fermat–Steiner problem in the space of compact subsets of R𝑚 endowed with the Hausdorff metric // Sb. Math., 212:1 (2021), 25–56

14. Тропин А. М. Оценка длины минимальной параметрической сети в гиперпространствах при деформации граничного множества // Интеллектуальные системы. Теория и приложения, 25, 2, 2021, стр. 81–107

15. Mendelson B. Introduction to topology // Dover Publications, 1990, 206 p.

16. Leonard I. E., Lewis J. E. Geometry of convex sets // Wiley, 2015, 336 p.

17. Алимов А. Р., Царьков И. Г. Связность и другие геометрические свойства солнц и чебышёвских множеств // Фундаментальная и прикладная математика, 2014, том 19, No 4, с. 21–91.

18. Schlicker S. The geometry of the Hausdorff metric // GVSU REU 2008, Grand Valley State Univ., Allendale, MI, 2008, 11 pp., http://faculty.gvsu.edu/schlicks/ HMG2008.pdf.

19. Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. 512 с.

20. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова-Хаусдорфа: случай компактов // M.: Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ, 2017. 111 с.

21. А. Х. Галстян. Про непрерывность одной операции с выпуклыми компактами в конечно-мерных нормированных пространствах // Чебышевcкий сборник, 2022, т. 23, вып. 5, с. 152–160.

22. Drusvyatskiy D. Convex analysis and nonsmooth optimization // University Lecture, 2020, https://sites.math.washington.edu/ ddrusv/crs/Math_516_2020/bookwithindex.pdf

23. Galstyan A. Kh. Boundary stability in the Fermat–Steiner problem in hyperspaces over finitedimensional normed spaces // arXiv:2212.01881, 2022