О множестве исключений в произведении множеств натуральных чисел с асимптотической плотностью 1

Аннотация

В статье изучается следующая задача. Пусть имеется два подмножества множества натуральных чисел, которые мы обозначим как 𝐴 и 𝐵. Пусть дополнительно известно также, что асимптотическая плотность этих множеств 𝐴,𝐵 равна 1. Мы определяем множество натуральных чисел, которые являются представимыми в виде произведения этих множеств 𝐴𝐵, то есть такие элементы 𝑎𝑏, где 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵. Мы изучаем свойства это-
го подмножества произведений во множестве всех натуральных чисел. Авторы S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna в статье [1] доказали помимо всего прочего, что плотность множества 𝐴𝐵 также равна 1. Более того была выведена количественная версия этого утверждения, а именно получена оценка на множество N ∖ 𝐴𝐵, которое мы обозначим через 𝐴𝐵. А именно, этими авторами в случае когда известны количественные верхние оценки на 𝐴 ∩ [1, 𝑥] = 𝛼(𝑥)𝑥,𝐵 ∩ [1, 𝑥] = 𝛽(𝑥)𝑥, 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) = 𝑂(1/(log 𝑥)𝑎), 𝑥 → ∞ вы-
ведена и верхняя оценка на множество 𝐴𝐵 ∩ [1, 𝑥]. В данной работе мы изучаем случай когда 𝛼, 𝛽 стремятся к нулю медленнее чем в вышеуказанном случае и несколько уточняем верхнюю оценку на множество 𝐴𝐵 ∩ [1, 𝑥]. В настоящей статье мы рассматриваем случай 𝛼(𝑥), 𝛽(𝑥) = 𝑂(︀ 1/((log log 𝑥)^𝑎))︀
при некотором фиксированном 𝑎 > 1. Мы заимствуем
подходы, аргументы и схему доказательства из упомянутой работы трех авторов S. Bettin, D. Koukoulopoulos и C. Sanna[1].