Когомологии де Рама алгебры полиномиальных функций на симплициальном комплексе
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-203-212
Аннотация
Мы рассматриваем алгебру 𝐴0(𝑋) полиномиальных функций на симплициальном комплексе 𝑋, которая является компонентой степени 0 введенной Сулливаном dg-алгебры 𝐴∙(𝑋) полиномиальных форм. Все рассматриваемые алгебры над произвольным полем 𝑘 характеристики 0.
Нашей целью является вычисление когомологий де Рама алгебры 𝐴0(𝑋), то есть когомологий универсальной dg-алгебры Ω∙
𝐴0(𝑋). Имеется канонический морфизм dg-алгебр 𝑃 : Ω∙
𝐴0(𝑋) → 𝐴∙(𝑋). Мы доказываем, что морфизм 𝑃 является квазиизоморфизмом. Таким образом, когомологии де Рама алгебры 𝐴0(𝑋) канонически изоморфны когомологиям симлициального комплекса 𝑋 с коэффициентами в поле 𝑘. Более того, для 𝑘 = Q, dg-алгебра Ω∙
𝐴0(𝑋) служит моделью симплициального комплекса 𝑋 в смысле рациональной теории гомотопий. Наш результат показывает, что для алгебры 𝐴0(𝑋) верно утверждение теоремы сравнения Гротендика (доказанной им для гладких алгебр).
Для доказательства мы рассматриваем резольвенты Чеха, ассоциированные с покрытием симплициального комплекса звездами вершин.
Ранее Кан — Миллер доказали, что морфизм 𝑃 сюръективен, а также описали его ядро. Другое описание ядра дали Сулливан и Феликс — Джессап — Паран.
Ключевые слова
когомологии де Рама алгебры,
универсальная dg-алгебра,
алгебра полиномиальных функций,
dg-алгебра полиномиальных форм,
рациональная теория гомотопий.
При поддержке: Данная работа была поддержана Санкт-Петербургским международным математическим Институтом имени Леонарда Эйлера, грантовое соглашение NN 075–15–2019–1620 от 08.11.2019 и 075-15-2022-289 от 06.04.2022.
Список литературы
1. Arapura, Donu and Kang, Su-Jeong, K¨ahler–de Rham cohomology and Chern classes // Communications
2. in Algebra 2011. Vol. 39, № 4. P. 1153-1167.
3. Baskov, I., The de Rham cohomology of soft function algebras // preprint 2022, https://
4. arxiv.org/abs/2208.11431.
5. Billera, Louis J., The algebra of continuous piecewise polynomials // Advances in Mathematics
6. Vol. 76, № 2. P. 170-183.
7. Bott, Raoul and Tu, Loring W., Differential forms in algebraic topology // Springer 1982.
8. Bousfield, Aldridge Knight and Gugenheim, Victor K.A.M., On PL De Rham theory and
9. rational homotopy type // Memoirs American Mathematical Soc. 1976. Vol. 179.
10. F´elix, Yves and Halperin, Stephen and Thomas, Jean-Claude, Rational homotopy theory //
11. Springer 2012.
12. F´elix, Yves and Jessup, Barry and Parent, Paul-Eug`ene, The combinatorial model for the
13. Sullivan functor on simplicial sets // Journal of Pure and Applied Algebra 2009. Vol. 213, №
14. P. 231-240.
15. G´omez, Francisco, Simplicial types and polynomial algebras // Archivum Mathematicum 2002.
16. Vol. 38, № 1. P. 27-36.
17. Griffiths, Phillip and Morgan, John, Rational Homotopy Theory and Differential Forms //
18. Birkh¨auser 1981.
19. Grothendieck, Alexander, On the de Rham cohomology of algebraic varieties // Publications
20. Math´ematiques de l’IH´ES, 1966. Vol. 29, № 1. P. 95-103.
21. Hess, Kathryn, Rational Homotopy Theory //Interactions between Homotopy Theory and
22. Algebra: Summer School on Interactions Between Homotopy Theory and Algebra, University
23. of Chicago, July 26-August 6, 2004, Chicago, Illinois. – 2007. – P. 175-202.
24. Kan, Daniel M. and Miller, Edward Y., Sullivan’s de Rham complex is definable in terms of its
25. -forms // Proceedings of the American Mathematical Society 1976. Vol. 57, № 2. P. 337–339.
26. Kunz, Ernst, K¨ahler differentials // 1986, Friedr. Vieweg & Sohn.
27. Sullivan, Dennis, Differential forms and the topology of manifolds // Manifolds Tokyo 1973. P.
28. -49.
29. Sullivan, Dennis, Infinitesimal computations in topology // Publications Math´ematiques de
30. l’IH´ES 1977. Vol. 47, P. 269–331.
Рецензия
Для цитирования:
Басков И.С. Когомологии де Рама алгебры полиномиальных функций на симплициальном комплексе. Чебышевский сборник. 2023;24(1):203-212. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-203-212
For citation:
Baskov I.S. The de Rham cohomology of the algebra of polynomial functions on a simplicial complex. Chebyshevskii Sbornik. 2023;24(1):203-212. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2023-24-1-203-212
Просмотров:
374
Послать статью по эл. почте 