Развитие концептуальных положений качественной теории
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-269-290
Аннотация
Работа посвящена изучению эволюции основных положений качественной теории, под знаком которой происходило развитие всей математики ХХ в. В развитии качественной теории можно выделить несколько этапов с четко выраженными тенденциями: становление качественной теории, когда сложились новые подходы, новый язык и система понятий (конец XIX – 20-е гг. ХХ в.); следующий этап – широкое привлечение методов топологии и
функционального анализа, вероятностных представлений и расширение качественной теории с выделением самостоятельных областей (конец 1920-х – середина ХХ в.); с середины ХХ в. по настоящее время – современный этап. Он выделяется тем, что в качественной теории воплотилось представление о математике как единой науке. Качественная теория вобрала в себя идеи и методы самых разных разделов (топологии, функционального анализа, теории групп Ли и др.). Объединяющая роль качественной теории заключается в том, что в ней воплощаются две культуры в математике, одна из них направлена на решение задач, а другая – на построение и осмысление теорий. В этом отношении качественная теория не просто конкретный раздел, а своеобразный подход к математическим проблемам. Особенностью современного этапа является еще невиданное сближение с областью приложений, особенно с физикой. Физика является не просто потребителем, она стимулировала кардинальные изменения самой математики. Становится трудно провести различимую границу между некоторыми разделами математики и теоретической физики.
Качественная теория преобразила облик всей математики и ее приложений.
Ключевые слова
качественная теория,
топология,
топологическая инвариантность,
динамическая система,
локальное и глобальное описание.
При поддержке: Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-011-00402 А.
Об авторе
Равиль Рафкатович Мухин
Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Sturm Ch. F. M´emoire sur une classe ´equations `a diff´erences partielles // J. Math. Pures et
2. Appl. 1836.V. 1. Pp. 373–444.
3. Демидов С., Петрова С. С., Симонов Н. Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения
4. // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. С. 80–183.
5. Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pures
6. et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. Pр. 375–422; 1882. V. 8. Pр. 251–296; S´er. 4. 1885. V. 1. Pр.
7. –244; 1886. V. 2. Pр. 151–217. Рус. перевод: Пуанкарe А. О кривых, определяемых
8. дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ, 1947. 392 с.
9. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А. М. Избр. труды:
10. работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.
11. Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures // archive: 1409.1823.
12. Jacobi C. G. ¨Uber die Figur des Gleichgewichts // Ann. Phys. Chem. 1834. Bd. 33. Pp. 229–233;
13. Gesammelte Werke. V. 2. Berlin : Verlag von G. Reimer, 1882–1891. S. 17–22.
14. Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta Math.
15. T. 7. Pp. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars, 1952. Pp.
16. –140.
17. Богатов Е. М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем
18. этапе и вкладе отечественных математиков // Чебышевcкий сборник, 2021. T. 22, B. 3. C.
19. —345.
20. Лейбниц В. Г. Избранные отрывки из математических сочинений // УМН. 1948. Т. 3. В. 1
21. (23). С. 165–204.
22. Риман Б. Теория абелевых функций // Б. Риман. Сочинения. М.-Л.: ОГИЗ, 1948. С. 88–
23.
24. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических представлений (“Эрланген-
25. ская программа”) // Об основаниях геометрии. Под ред. А. П. Нордена. М.: ГИТТЛ, 1956.
26. С. 399–434.
27. Euler L. Elementa doctrinae solidorum (1758) // Euler Archive. 230. Pp. 109–141.
28. Betti E. Sopra gli spazi di un numero qualunque di dimensioni // Ann. Math. Pura Appl. 1870.
29. V. 2/4. Pp. 140–158.
30. Jordan C. Sur la deformation des surfaces // J. Math. Pures et Appl. 1866. II s´er. T. 11. Pp.
31. –5.
32. Jordan C. Course d’Analyse. V. III. Paris, 1867. Pp. 587–594.
33. Poincar´e H. Analysis situs // J. Ecole Polytechniques. - II s´er. 1895. Cahier 1. - Pр. 1–121./
34. Рус. пер.: // А. Пуанкаре. Избр. труды: В 3 т. / Т. 2. М.: Наука, 1972. С. 454–734.
35. Медведев Ф. А. Основоположники функционального анализа // Истор.- мат. исслед. 1973.
36. В. XVIII. С. 55–70.
37. Frech´et M. G´en´eralisation d’un th´eor`eme de Weierstrass // Comp. Ren. Acad. Sci. 1904. V.
38. Pp. 848–850.
39. Frech´et M. Sur la quelques points du Calcul fonctionel // Rend. Circ. Math. Palermo. 1906. V.
40. Pp. 1–74.
41. Hilbert D. Grundz¨uge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen III // Nachr.
42. Ges. Wiss. G¨ottingen. 1905. S. 307–338.
43. Banach S. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur applications aux ´equations
44. int´egrales // Fund. Math. 1923. T. 3. Pp. 123–181.
45. Banach S. Th´eorie des op´ertaions lin´eaires. Warrzawa, 1932. 259 p.
46. Brouwer L. E. J. ¨Uber ein eindeutige, stetige Transformationen von Fl¨achen in sich // J. Math.
47. Ann. 1910. Bd. 69. S. 176–180.
48. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen // Math. Zeitschr. 1927.
49. Bd. 26. S. 47–65, 417–431.
50. Schauder J. ¨Uber lineare, vollstetige Operationen // Studia. Math. 1930. Bd. 2. S. 183–196.
51. Leray J., Schauder J. Topologie et ´equations fonctionelles // Ann. Ec. Norm. Sup. 1934. V. 3
52. (51). Pp. 43–78.
53. Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986. 176 с.
54. Колмогоров А. Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Коммун. академия,
55. Сб. работ матем. раздела. 1929. Т. 1. С. 8–21.
56. Kolmogorov A. N. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrehung. Berlin: Springer-Verl., 1933.
57. S.
58. Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус.
59. пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
60. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. // Избр. труды: В 3 т. / М.: Наука, 1971.
61. Т. 1. 772 с.; 1972. Т. 2. 998 с.
62. Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl. 1937. IV + 835 S. То же : Хопф Э. Эргодиче-
63. ская теория // УМН. 1949. Т. 4. В. 1. С. 113–182.
64. Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1932.
65. V. 18. Pр. 70–82.
66. Birkhoff G. D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the
67. ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. V. 17. Pр. 650–660.
68. Kryloff N., Bogoliouboff N. La th´eorie g´en´erale de la mesure dans son applications a l’´etude des
69. syst`eme dynamiques de la m´ecanique non lineaire // Ann. Math. 1937. V. 38. Pр. 65–113. /
70. Рус. пер. в кн.: Н.Н.Боголюбов. Избр. труды. Т. 1. Киев: Наукова думка, 1969. С. 411–463.
71. Гиббс Дж. В. Основные принципы статистической механики // Дж.В. Гиббс. Термодина-
72. мика. Статистическая механика. М.: Наука, 1982. С. 350–509.
73. Заславский Г. М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272 с.
74. Рохлин В. А. Обобщение сохраняющего меру преобразования, не являющегося перемеши-
75. ванием // ДАН СССР. 1949. Т. 13. С. 329–340.
76. Колмогоров А. Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и
77. автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. Т. 119. № 5. С. 861–864.
78. Колмогоров А. Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автомор-
79. физмов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 4. С. 754–755.
80. Синай Я. Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.
81. Синай Я. Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 4.
82. С. 768–771.
83. Песин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория //
84. УМН. 1977. Т. 32. В. 4. С. 55–112.
85. Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc.
86. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. V. 1. P. 315–333. / То же в кн.: А.Н.Колмогоров.
87. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316–332.
88. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations
89. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1961. V. 47. Pр. 1824–1831.
90. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохрwанении условно-
91. периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т.
92. В. 5. С. 13–40.
93. Аносов Д. В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века //
94. Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74–192.
95. Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Матема-
96. тические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 1–18.
97. Йоккоз Ж.К. Недавнее развитие динамики // Международный конгресс математиков в
98. Цюрихе. Избран. доклады. М.: Мир, 1999. С. 349–380.
99. Bour J. Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic // J. Math.
100. Pure et Appl. 1855. V. 20. Pр. 185–200.
101. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841.
102. Pр. 1–13, 36.
103. Liouville J. Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour // J. Math. Pure et
104. Appl. 1855. V. 20. Pр. 201–202.
105. Козлов В. В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН.
106. Т. 38. В. 1. С. 3–67.
107. Козлов В. В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-
108. во Удмурт. ун-та, 1995. 430 с.
109. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist //
110. Phys. Zs. 1923. B. 24. S. 261–265. / Рус. пер.: Э. Ферми . Науч. труды. Т. 1. М.: Наука, 1971.
111. С. 115–123.
112. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Study of Nonlinear Problems // Studies of Nonlinear Problems. I.
113. Los Alamos Report. LA, 1940. 1955. / Рус. пер.: Э. Ферми. Науч. труды. Т. 2. М.: Наука,
114. С. 647–656.
115. Zabusky N. J., Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence
116. of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. Pp. 240–243.
117. Солитоны. М.: Мир, 1983. 408 с.
118. Гельфанд И. М. Об эллиптических уравнениях // УМН. 1960. Т. 15. В. 3 (93). С. 121–132.
119. Шварц А. С. Квантовая теория поля и топология. М.: URSS, 400 с.
120. Atiyah M., Singer I. M. The index of elliptic operators on compact manifolds // Bull. AMS.
121. V. 69. N 3. Pp. 422–433.
122. Alvarez-Gaume L. Supersymmetry and the Atiyah-Singer Index Theorem // Comm. Math.
123. Phys. 1983. V. 90. Pp. 161–173.
124. Монастырский М. И. Современная математика в отблеске медалей Филдса. М.: Янус-К,
125. 200 с.
126. Singer I. M. Future extensions of index theory and elliptic operators // Prosp. Math. Ann.
127. Math. Soc. 1971. N 70. Pp. 171–185.
128. Atiyah M. The Dirac equation and geometry // Paul Dirac. The Man and hisWork. Cambridge:
129. CUP, 1998. Pp. 108–124.
130. Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize // Notices AMS. 2004. V. 51. N 6. Pp. 649–650.
131. Donaldson S. Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds // Bull. AMS.
132. V. 8. Pp. 81–83.
133. Donaldson S., Kronheimer P. The Geometry of Four- Manifolds. Oxford: OUP, 1990. 440 p.
134. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностр. литературы, 1963. 292 с.
135. Atiyah M. Trends in Pure Mathematics // Proc. 3rd Int. Congr. In Math. Education. 1977.
136. Pp. 61–74.
137. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических на-
138. уках. М.: Наука, 1985. 328 с.
139. Лотман Ю.М. Семиосфера. С.-Петербург: «Искусство—СПБ», 2000. 704 с.
Рецензия
Для цитирования:
Мухин Р.Р. Развитие концептуальных положений качественной теории. Чебышевский сборник. 2022;23(5):269-290. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-269-290
For citation:
Mukhin R.R. Development of the conceptual provisions of the qualitative theory. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):269-290. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-269-290
Просмотров:
267
Послать статью по эл. почте 