О пересечении двух однородных последовательностей Битти

Аннотация

Однородными последовательностями Битти называют последовательности вида 𝑎𝑛 = [𝛼𝑛], где 𝛼 — положительное иррациональное число. В 1957 г. Т. Сколем показал, что
если числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности [𝛼𝑛] и [𝛽𝑛] имеют бесконечно много общих членов. Т. Банг усилил этот результат:
пусть 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) — количество натуральных чисел 𝑘, 1 <= 𝑘 <= 𝑁, принадлежащих одновременно двум последовательностям Битти [𝛼𝑛] и [𝛽𝑚] и числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы
над полем рациональных чисел, тогда 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) ∼ 𝑁𝛼𝛽 при 𝑁 → ∞.
В работе доказывается уточнение этого результата для случая алгебраических чисел.
Пусть 𝛼, 𝛽 > 1 — такие иррациональные алгебраические числа, что 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для любого 𝜀 > 0 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) = 𝑁/𝛼𝛽 + 𝑂(︀𝑁^((1/2)+𝜀))︀.