О совместных приближениях логарифмов простых чисел
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-87-100
Аннотация
В первой части статьи модификация элементарного метода Э. Ч. Титчмарша применяется к доказательству локальной теоремы Кронекера. Для произвольной конечной последовательности ¯𝜆 = (𝜆1, . . . , 𝜆𝑟) вещественных чисел, линейно независимых над полем Q, и для любого 𝜀 > 0 этот метод даёт явную верхнюю оценку величины ℎ = ℎ(𝜀,¯𝜆) такой, что для всякой последовательности ¯𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼𝑟) любой интервал длины ℎ содержит точку 𝑡 такую, что ‖𝑡𝜆𝑠 − 𝛼𝑠‖ <= 𝜀, 1 <= 𝑠 <= 𝑟. Эта оценка уступает по точности наилучшей известной на сегодняшний день, однако проста в выводе и в приложениях приводит, по сути, к результатам той же точности, что и наилучшая.
Во второй части помещены воспоминания авторов об академике Алексее Николаевиче Паршине.
Ключевые слова
При поддержке: Исследование первого автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-11- 00001) в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
Об авторах
Максим Александрович Королёв
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Ирина Сергеевна Резвякова
Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Kronecker L., N¨aherungsweise ganzzahlige Aufl¨osung linearer Gleichungen // Monats. K¨onigl.
2. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. 1884. S. 1179-1193, 1271-1299.
3. Leopold Kronecker’s Werke, Hensel K. (ed.), Vol. III, Teubner, Leipzig, 1899.
4. Hardy G. H., Wright E. M., An introduction to the theory of numbers (4th ed.). Clarendon
5. Press, Oxford, 1975.
6. Tur´an P., A theorem on diophantine approximation with application to Riemann zeta-function
7. // Acta Sci. Math. (Szeged). 1960. Vol. 21. P. 311-318.
8. Gonek S. M., Montgomery H. L., Kronecker’s approximation theorem // Indag. Math. (N.S.)
9. Vol. 27. № 2. P. 506–523.
10. Титчмарш Е.К., Теория дзета-функции Римана. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.
11. Bohr H., Again the Kronecker Theorem, // J. Lond. Math. Soc. 1934. Vol. 9. P. 5–6.
12. Конягин С. В., Королёв М. А., О явлении Титчмарша в теории дзета-функции Римана
13. // Теория приближений, функциональный анализ и приложения, Сборник статей. К 70-
14. летию академика Бориса Сергеевича Кашина, Труды МИАН, 318, МИАН, М., 2022. С.
15. -201.
16. Besikovitch A. S., On the linear independence of fractional powers of integers // J. London
17. Math. Soc. 1940. Vol. 15. P. 3-6.
18. Чандрасекхаран К., Арифметические функции. М.: Наука, 1975.
19. Selberg A., On the remainder term in the lattice point problem of the circle. Manuscript.
20. http://publications.ias.edu/selberg/section/2494
21. Heath-Brown D. R., The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor
22. problem // Acta Arith. 1992. Vol. 60. № 4. P. 389-415.
23. Королёв М. А., Попов Д. А., Об интеграле Ютилы в проблеме круга // Изв. РАН. Сер.
24. матем. 2022. Vol. 86. № 3. P. 3-46.
25. Бухштаб А. А., Теория чисел. М.: Учпедгиз, 1960.
26. Mordell L. J., On the linear independence of algebraic numbers // Pacific J. Math. 1953. Vol.
27. № 3. P. 625-630.
28. Хуа Л.-К., Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. М.: Мир,
29.
Рецензия
Для цитирования:
Королёв М.А., Резвякова И.С. О совместных приближениях логарифмов простых чисел. Чебышевский сборник. 2022;23(5):87-100. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-87-100
For citation:
Korolev M.A., Rezvyakova I.S. On simultaneous approximations to the logarithms of primes. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):87-100. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-87-100
Просмотров:
306
Послать статью по эл. почте 