О критических решетках единичного шара
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37
Аннотация
История вопроса вычисления и оценки постоянной Эрмита насчитывает два столетия.
В данной статье дается краткий обзор истории этой задачи. Также эта проблема рассматривается с точки зрения критических решеток единичного шара.
Данная задача берет свое начало с работ Ж. Л. Лагранжа, Л. А. Зеебера и К. Ф. Гаусса.
Разрабатывая теорию приведения положительно определенных квадратичных форм, ими были получены предельные формы, для которых отношение минимального значения этих форм в целых точках, отличных от 0, к их определителю было максимально.
В середине XIX века Ш. Эрмитом была получена оценка этой величины для произвольной размерности. А в конце XIX века А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым был предложен новый метод приведения квадратичных форм, который позволил получить точные значения постоянной Эрмита вплоть до размерности 8.
В данной работе будет рассматриваться эквивалентная постоянной Эрмита величина – критический определитель единичного шара. Следует отметить тесную связь этих величин с другими задачами геометрии чисел, например, задачами нахождения плотности наилучшей упаковки, поиска кратчайшего вектора решетки и диофантовыми приближениями. Мы приведем критические решетки размерностей до 8, а также рассмотрим их
некоторые метрические свойства.
Ключевые слова
При поддержке: Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ на развитие молодежных лабораторий, в рамках реализации ТГПУ им. Л. Н. Толстого программы «Приоритет 2030» по Соглашению №073-03-2022-117/7 по теме «Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»
Об авторе
Юрий Александрович Басалов
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Венков Б. А., К работе «О некоторых свойствах положительных совершенных квадратич-
2. ных форм», в кн. Г. Ф. Вороной , Собр. соч., том 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952.
3. Венков Б. А., О приведении положительных квадратичных форм // Изв. АН, серия ма-
4. тем., т. 4, 1940, с. 37–52.
5. Венков Б. А., Элементарная теория чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1937.
6. Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел. - ОНТИ НКТП СССР, 1936.
7. Грубер. П. М., Леккеркеркер. К. Г. Геометрия чисел. – УРСС, 2004.
8. Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел: Пер. с англ. – М.: Мир, 1965.
9. Касселс Дж. В. С. Рациональные квадратичные формы: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982.
10. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. – М.: Мир, 1990.
11. Рышков С. С., Барановский Е. П., Классические методы теории решетчатых упаковок //
12. УМН, Т. 34, Вып. 4, 1979, c. 3–63.
13. Barnes Е. S., The complete enumeration of extreme senary forms // Phil. Trans. Roy. Soc.
14. London, A-249, 1957, p. 461–506.
15. Вliсhfeldt H. F., The minimum values of positive quadratic formes in six, seven and eight
16. variables // Math. Z., 39, 1934, p. 1–15.
17. Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел. - Изд-во АН СССР, 1959.
18. Gauss С. F., Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen //
19. Formen von Ludwig August Seeber, Gottingische gelehrte Anzeigen, 1831.
20. Hermite Ch., Lettres de m. Hermite a m. Jacobie sur differemts objets de la theorie des Nombres
21. // J. Reine und Angew. math., 40, 1850, p. 261–315.
22. Jaquet-Chiffelle D.-O., ´Enum´eration compl`ete des classes de formes parfaites en dimension 7
23. // Annales de l’Institut Fourier, Vol. 43, 1993, p. 21–55. http://doi.org/10.5802/aif.1320
24. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives quaternaires // Math. Ann. 5,
25. , p. 581–583.
26. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques // Math. Ann. 6, 1873, p. 366–389.
27. Korkine A., Zolotareff G., Sur les formes quadratiques positives // Math. Ann. 11, 1877, p. 242–
28.
29. Lagrange J. L., Recherches d’arithmetique, Nouveaux Memoires de 1’Academie royal des
30. Sciences et Belles-Lettres de Berlin. – Berlin, 1773.
31. Minkowski Н., Diskontinuitatsbereich fur arithmetische Aquivalenz // J. Reine und Angew.
32. Math., 129, 1905, p. 220–274.
33. Minkowski Н., Cher die positiven quadratischen Formen und liber Rettenbruchanliche //
34. Algorithmen, J. Reine und Angew. Math., 107, 1891, p. 278–279.
35. Nowak W. G. Simultaneous Diophantine approximation: Searching for analogues of Hurwitz’s
36. theorem // In: T.M. Rassias and P.M. Pardalos (eds.), Essays in mathematics and its
37. applications. Springer/ Switzerland. 2016. p. 181–197.
38. Seeber L. A., Untersuchungen uber die Eigenschaften der positiven ternaren quadratischen
39. Formen. – Freiburg, 1831.
40. Sikiric M., Schuermann A., Vallentin F., Classification of eight dimensional perfect forms //
41. Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, том 13, 2006,
42. p. 21-32. http://doi.org/10.1090/S1079-6762-07-00171-0.
43. Stасey К. С., The enumeration of perfect septenary forms // J. London Math. Soc., 2, 10, 1975,
44. p. 97–104.
45. Stасey K. C., The perfect septenary forms with 𝛿4 = 2 // J. Austral. Math. Soc., 22, 2, 1976,
46. p. 144–164.
47. Vоrоnоi G., Sur quelques proprietes des formes quadratiques positives parfaites // J. Reine und
48. Angew. Math., 133, 1907, p. 97–178.
Рецензия
Для цитирования:
Басалов Ю.А. О критических решетках единичного шара. Чебышевский сборник. 2022;23(5):20-37. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37
For citation:
Basalov Yu.A. On critical lattices of the unit sphere. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):20-37. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-20-37
Просмотров:
298
Послать статью по эл. почте 