Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-6-19
Аннотация
С помощью интегрального неравенства, обобщающего, в частности, неравенство Чебышева, в статье получены точные двусторонние априорные оценки решения интегрального уравнения Вольтерра со степенной нелинейностью и ядром общего вида в конусе, состоящем из всех неотрицательных и непрерывных на положительной полуоси функций. На основе этих оценок строится полное метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного интегрального оператора Вольтерра, порожденного данным уравнением, и методом весовых метрик (аналог метода Белицкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения решения указанного уравнения.
Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости в терминах весовой метрики. Показано, что, в отличие от линейного случая, нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Указаны условия, при которых однородное уравнение, соответствующее данному нелинейному интегральному уравнению, имеет только тривиальное решение. Вместе с
этим дано уточнение и обобщение некоторых результатов, полученных в случае нелинейных интегральных уравнений с разностными и суммарными ядрами. Приведены примеры,
иллюстрирующие полученные результаты.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 22-11-00177).
Об авторе
Султан Нажмудинович Асхабов
Чеченский государственный педагогический университет; Чеченский государственный университет имени А. А. Кадырова; Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Okrasi´nski W. On the existence and uniqueness of nonnegative solutions of a certain non-linear
2. convolution equation // Ann. Pol. Math. 1979. Vol. 36, №1. P. 61-72.
3. Okrasi´nski W. On a non-linear convolution equation occurring in the theory of water percolation
4. // Annal. Polon. Math. 1980. Vol. 37, №3. P. 223-229.
5. Асхабов С. Н., Карапетянц Н. К., Якубов А. Я. Интегральные уравнения типа свертки со
6. степенной нелинейностью и их системы // Докл. АН СССР. 1990. Т. 311, №5. С. 1035-1039.
7. Асхабов С. Н., Бетилгириев М. А. Нелинейные интегральные уравнения типа свертки с
8. почти возрастающими ядрами в конусах // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, №2. С.
9. -330.
10. Bushell P. J., Okrasi´nski W. Nonlinear Volterra integral equations with convolution kernel //
11. J. London Math. Soc. 1991. Vol. 41, №2. P. 503-510.
12. Асхабов С. Н., Бетилгириев М. А. Априорные оценки решений нелинейного интегрального
13. уравнения типа свертки и их приложения // Матем. заметки. 1993. Т. 54, №5. С. 3-12.
14. Bushell P. J., Okrasi´nski W. Nonlinear Volterra integral equations and the Apery identities //
15. Bull. London Math. Soc. 1992. Vol. 24. P. 478-484.
16. Kilbas A. A., Saigo M. On solution of nonlinear Abel–Volterra integral equation // J. Math.
17. Anal. Appl. 1999. Vol. 229. P. 41-60.
18. Асхабов С. Н. Нелинейные уравнения типа свертки (Физматлит, М., 2009).
19. Brunner H. Volterra integral equations: an introduction to the theory and applications.
20. Cambridge University Press, Cambridge, 2017.
21. Keller J. J. Propagation of simple nonlinear waves in gas filled tubes with friction // Z. Angew.
22. Math. Phys. 1981. Vol. 32, №2. P. 170-181.
23. Schneider W. R. The general solution of a nonlinear integral equation of the convolution type
24. // Z. Angew. Math. Phys. 1982. Vol. 33, №1. P. 140-142.
25. Okrasi´nski W. Nonlinear Volterra equations and physical applications // Extracta Math. 1989.
26. Vol. 4, №2. P. 51-74.
27. Асхабов С. Н. Об одном интегральном уравнении с суммарным ядром и неоднородностью
28. в линейной части // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57, №9. P. 1210-1219.
29. Edwards R. E. Functional analysis. Theory and applications (New York: Holt, Rinehart and
30. Winston, 1995).
31. Садовничий В. A., Григорьян A. A., Конягин С. В. Задачи студенческих математических
32. олимпиад (МГУ, М., 1987).
33. Okrasi´nski W. On subsolutions of a nonlinear diffusion problem // Math. Meth. in the Appl.
34. Sci. 1989. V. 11, N3. P. 409-416.
35. Асхабов С. Н. Интегро-дифференциальное уравнение типа свертки со степенной нелиней-
36. ностью и неоднородностью в линейной части // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, №6.
37. С. 786-795.
Рецензия
Для цитирования:
Асхабов С.Н. Интегральное уравнение Вольтерра со степенной нелинейностью. Чебышевский сборник. 2022;23(5):6-19. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-6-19
For citation:
Askhabov S.N. Volterra integral equation with power nonlinearity. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):6-19. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-6-19
Просмотров:
345
Послать статью по эл. почте 