Эволюция основных положений теории устойчивости
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-327-349
Аннотация
Целью работы является изучение эволюции понятия устойчивости, представляющей структурообразующее понятие во всех областях науки и техники, и даже за их пределами. Этапы этой длительной эволюции соответствовали доминирующим тенденциям ма-
тематики своего времени. К концу XIX в. была осознана сложность понятия устойчивости, встал вопрос о математически строгом подходе к проблеме. Была построена общая теория устойчивости движения на прочном математическом фундаменте. Это стало вехой не только в развитии самого предмета, но составило одно из оснований построения качественной теории. В дальнейшем теория устойчивости разделилась на две ветви: одна – расширение теории вширь на старой идейной базе, усиление связей с приложениями; другая – устойчивость в контексте теории динамических систем. В последнем случае устойчивые движения рассматриваются в ряду всех движений, в дихотомии устойчивость-неустойчивость оба полюса равноправны и содержательны. Неустойчивость оказывается тоже сложным понятием, с многообразием форм. Неустойчивость приобрела конструктивное значение, она обеспечивает новации, развитие. Типичным является сосуществование устойчивости и неустойчивости со сложной топологией такой структуры. Многообразные виды неустойчивости демонстрирует явление турбулентности. Изучение этого явления на современном уровне требует использование математики по канонам строгости, принятых в самой математике. Можно поставить вопрос о границах применимости возможностей самого качественного описания и понятия устойчивости. В этом отношении имеются первые результаты, требуются новые идеи.
Ключевые слова
устойчивость,
возмущение,
критерий устойчивости,
динамическая си- стема,
неустойчивость,
турбулентность.
При поддержке: Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 20-011-00402 А.
Об авторе
Равиль Рафкатович Мухин
Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Список литературы
1. Leine R. L. The historical development of classical stability concepts: Lagrange, Poisson,
2. Lyapunov stability // Nonlinear Dyn. 2010. Vol. 59. Pp. 173–182.
3. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума
4. или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле Леонарда Эй-
5. лера, королевского профессора и члена Императорской Петербургской Академии наук.
6. М.-Л.: ГТТИ, 1934. 603 с.
7. Euler L. Scintia novalis seu tractatus de consruendis ac dirigendis. St. Petersburg, Academiae
8. Scientarum, 1749. 536 p.
9. Lagrange J. L. Sur le principe des vitesse virtuelles // Oeuvres de Lagrange. T. VII. Paris:
10. Gautier-Villars, 1877. Pp. 317–321
11. M´ecanique analiytique, par J. L. Lagrange. T. Premiere. Paris, 1811. 422 p.
12. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. Т. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 594 с.
13. Lejeune-Dirichlet P. G. ¨Uber die Stabilit¨at des Gleichgewichts // CRELLE, J. Reine Angew.
14. Math. 1846. B. 32. Pp. 85–88.
15. Лежен-Дирихле П. Г. Об устойчивости равновесия // Лагранж Ж. Аналитическая меха-
16. ника. Т. 1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. С. 537–540.
17. Lagrange J. L. Sur le movement des noeuds des orbits plan´etaires // M´em. Acad. Sci. 1774. Pp.
18. –307.
19. Lagrange J. L. Th´eorie des variations s´eculaires des ´elements des plan´etes // Oeuvres de
20. Lagrange. T. V. Paris: Gautier-Villars, 1870. Pp. 127–207, 208–344.
21. Laplace P. S. Sur le principe de la gravitation universelle et sur le inegalit´e s´eculaires des plan´etes
22. qui en d´ependent // Oeuvres de Laplace. T. VIII. Paris: Gautier-Villars, 1841. Pp. 201–275.
23. Laplace P. S. Sur le ´equation s´eculaire de la lune // M´em. Acad. Sci. 1788. Pp. 243–271.
24. Poisson S. D. M´emoire sur les inegalit´e s´eculaires des moyens mouvements des plan´etes // J.
25. Ecole Polytech. 1808. T. XV. Pp. 1–56.
26. Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. М.: Гостехиздат, 1965. 328 с.
27. Thomson W., Tait P. G. Treatise on Natural Philosophy. Oxford: Clarendon Press, 1867. XXIII,
28. p.
29. Wise N. M., William Thomson and Peter Guthrie Tait, Treatise on Natural Philosophy, First
30. edition (1867) // Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940. I. Grattan-Guinnes
31. (ed.). Amsterdam: Elsivier, 2005. Pp. 521-533.
32. Routh E. G. A treatise of stability of a given state of motion. L.: Macmillan and Com., 1877.
33. p.
34. Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. math. pures
35. et appl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244;
36. V. 2. pp. 151–217.
37. Пуанкарe А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.: ГИТТЛ,
38. 392 с.
39. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. // Избр. труды: В 3 т. / М.: Наука, 1971.
40. Т. 2. 998 с.
41. Жуковский Н. Е. О прочности движения // Соч. Н. Е. Жуковского. Т. 1. М.: Типография
42. Император. Моск. Ун-та, 1912. С. 194–296.
43. Leonov G. A., Burkin I. M., Shepeljavyi A. I. Frequently methods in oscillation theory.
44. Mathematics and its applications. V. 357. Dordrecht: Kluwer Academic, 1996. 403 p.
45. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения // Ляпунов А. М. Избр. труды:
46. работы по теории устойчивости. М.: Наука, 2007. С. 27–298.
47. Hurvitz, W. A. The Chicago Colloquium // Bull. AMS. 1920. V. 27. Pp. 65–71.
48. Birkhoff G. D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. IX + 295 p. / Рус.
49. пер.: Дж. Биркгоф Динамические системы / Пер. с англ. Ижевск: РХД, 1999. 408 с.
50. Birkhoff G. D. Surface transformations and their dynamical applications // George David
51. Birkhoff. Coll. Math. Papers. V. II. N.Y.: AMS, 1950. Pp. 111–229.
52. Levi-Civita T. Sopra alcuni criteri di instabilita // Annali di Math. 1901. Ser. III. V. 5. Pp.
53. –308.
54. Моисеев Н. Д. Очерки развития теории устойчивости. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. 663 с.
55. Математика в СССР за сорок лет 1917-1957. Т. 1. Под ред. А. Г. Куроша. М.: Гос. изд-во
56. физ.-мат. литературы, 1959. 1000 с.
57. Григорьян А.Т., Погребысский И. Б. История механики с конца XVIII века до середины
58. XX века. М.: Наука, 1972. 417 с.
59. Четаев Н. Г. Одна теорема о неустойчивости // ДАН СССР. 1934. Т. 1. С. 529–530.
60. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН
61. СССР, 1962. 535 с.
62. Poincar´e H. Sur l’´equilibre d’un masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta.
63. Math. 1885. T. 7. Pр. 259–380 ; Oeuvres de Henri Poincar´e. T. VII. Paris: Gautier-Villars,
64. Pр. 40–140.
65. Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С.
66. –252.
67. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1. N 2.
68. Pр. 101–120.
69. Андронов А. А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по
70. колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32–71.
71. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an innite number of periodic
72. points // Труды межд. симп. по нелин. колебаниям 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365–366.
73. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. Н., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова
74. и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966. 576 с.
75. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschr.
76. B. 31. S. 748–766.
77. Оселедец В. И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показате-
78. ли Ляпунова динамических систем // Тр. Моск. мат. общества.1968. Т. 19. С. 179–210.
79. Миллионщиков М. Д. Критерий устойчивости вероятностного спектра линейных систем
80. дифференциальных уравнений с рекуррентными коэффициентами и критерий почти при-
81. водимости систем с почти периодическими коэффициентами // Мат. сб. 1969. Т. 78. № 2.
82. С. 179-202.
83. Арнольд В. И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы //
84. ДАН СССР. 1964. Т. 156. № 1. С. 9–12.
85. Заславский Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Генерация
86. упорядоченных структур с осью симметрии из гамильтоновой динамики // Письма в
87. ЖЭТФ. 1986. Т. 144. В. 7. С. 349–353.
88. Заславский Г. М., Захаров М. Ю., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Стохасти-
89. ческая паутина и диффузия частиц в магнитном поле // ЖЭТФ. 1986. Т.91. В. 5. С.
90. –516.
91. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегу-
92. лярные структуры. М.: Наука, 1991. 236 с.
93. Stephenson A. On a class of forced oscillations // Quart. J. Pure and Appl. Math. 1906. V. 37.
94. № 148. Pp. 353–360.
95. Боголюбов Н. Н. Теория возмущений в нелинейной механике // Сб. трудов Ин-та строит.
96. механики АН УССР. 1950. Т. 14 С. 9–34.
97. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса //
98. ЖЭТФ. 1951. Т. 21. Вып.5. С. 588–597.
99. Богатов Е. М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н. Н. Бо-
100. голюбов, А. Стефенсон, П. Л. Капица и другие // Изв. вузов «ПНД». 2017. Т. 25. № 5. С.
101. –87.
102. Челомей В. Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи виб-
103. раций// ДАН СССР. 1956. Т. 110. № 3. С. 345–347.
104. Челомей В. Н. Парадоксы в механике, вызываемые вибрациями // ДАН СССР. 1983. Т.
105. № 1. С. 62–67.
106. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.
107. Goldstein S. Fluid mechanics in the first half of this century // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969.
108. V. 1. Pp. 1–29.
109. Марсден Дж. Соотношение между уравнениями Навье-Стокса и турбулентностью //
110. Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 7–20.
111. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodyhamischen Erkl¨arung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen
112. / / Proc. 4th Int. Congr. Rome.1908. Pр. 116–124.
113. Orr W. The stability or instability of the steady motions of a liquid // Proc. Roy. Irish Acad.
114. A 27. V. 27. Pp. 9–68, 69–138.
115. Heisenberg W. ¨Uber Stabilit¨at und Turbulenz von Flissigkeitsstr¨omen // Ann. der Phys. 1924.
116. B.74. № 15. Pp. 577–624.
117. Ляпунов А. М. Об одной задаче Чебышева // Зап. Акад. Наук по Физ.-мат. отд. 1905. 8
118. сер. Т. 17. № 3. С. 1–32; А.М. Ляпунов. Собр. Соч. Т. 3. М. –Л.: Изд-во АН СССР, 1959.
119. С. 207–236.
120. Leray J. Etude de diverses ´equations int´egrals non lin´earais et de quelques probl`emes que pose
121. l’hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. Pp. 1–82.
122. Leray J. Essai sur le mouvements plans d’un liquide visqueux que limitent des parios // J.
123. Math. Pures Appl. 1934. V. 13. Pp. 341–418.
124. Leray J. Sur le mouvements d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta Math. 1934. V.
125. Pp. 193–248.
126. Oseen C. W. Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik. Leipzig : Academie Verlag,
127. 337 S.
128. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448
129. с.
130. Hopf E. ¨Uber die Anfangswertaufgabe f¨ur die hydrodynamischen Gundgleichungen // Math.
131. Nachrich. 1951. B. 4. S. 213–231.
132. Ladyzhenskaya O. A. Attractors for Semigroups and Evolution Equations. Lincei Lectures.
133. Cambridge: CUP, 1991. 73 p.
134. Scheffer V. (1976), Turbulence and Hausdorff dimension. // Turbulence and Navier-Stokes
135. equations // Proc. Conf. Univ. Paris-Sud, Orsay, 1975. Berlin: Springer Verlag, 1976. Pp. 174-
136. –183.
137. Caffarelli L., Kohn R., Nirenberg L. Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-
138. Stokes equations // Comm. Pure Appl. Math. 1982. V. 35(6). Pp. 771—831.
139. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Т.1. - С.-Птб: Гидрометеоиздат,
140. 692 с.
141. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. Pp.
142. –192 / Рус. пер. в кн.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117–151.
143. Arnold V. I. Kolmogorov’s hydrodynamic attractors // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1991.
144. V. 434. Pp. 19–22.
145. Arnold V., Khesin B. Topogical methods in hydrodynamics. N.Y.: Springer, 1998. 374 p.
146. Обухов А. М. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа // ДАН
147. СССР. 1969. Т. 184. № 2. С. 309–312.
148. Нелинейные системы гидродинамического типа. Под ред. А. М. Обухова. М.: Наука, 1974.
149. с.
150. Afraimovich V. A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors // Nonlinear
151. dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. Pр. 1-–34.
152. Zaslavsky G. M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999.
153. Vol. 52. Pр. 39—45.
154. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Об областях Ньюхауса двумерных диф-
155. феоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром //
156. Труды МИАН. 1997. Т. 216. C. 76-–125.
157. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Казаков О. А., Козлов А. Д. Математическая теория дина-
158. мического хаоса // Изв. вузов. Прикл. нелин. динамика. 2017. Т. 25, № 2. С. 4-–36.
159. Holmes P., Lumley J., Bercooz G., Rowley C. Turbulence, Coherent Structures, Dynamical
160. Systems and Symmetry. Cambridge: CUP, 2012. 386 p.
161. Фомин Н. Н., Чечеткин В. М. Когерентные гидродинамические структуры и вихревая ди-
162. намика. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. Препринт № 1 за 2015 г.
163. Шильников Л. П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Матема-
164. тические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 465–489.
165. Гонченко С. В., Тураев Д. Б., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного
166. порядка в областях Ньюхауса // Совр. математика и ее прилож. 1999. Т. 67. С. 69-–128.
Рецензия
Для цитирования:
Мухин Р.Р. Эволюция основных положений теории устойчивости. Чебышевский сборник. 2022;23(4):327-349. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-327-349
For citation:
Mukhin R.R. Evolution of the main provisions of the theory of stability. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(4):327-349. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-327-349
Просмотров:
300
Послать статью по эл. почте 