Топологическая оптимизация элементов конструкций с учетом структурной неоднородности материала с использованием градиентного метода
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-308-326
Аннотация
В данной работе представлен и реализован алгоритм, выполняющий топологическую оптимизацию распределения массы двумерного тела под нагрузкой. Конечной целью алгоритма является минимизация веса тела при ограничении на максимальные напряжения в его точках. За основу взята идея переменной плотности, а также алгоритм BESO, добавляющий и удаляющий элементы в зависимости от узловых напряжений.
Алгоритм использует метод конечных элементов и представляет из себя итеративный процесс, на каждом шаге которого сначала происходит вычисление напряжений в теле при помощи CAE Fidesys, а затем результаты расчёта анализируются. По результатам анализа модули Юнга в узлах конечноэлементной сетки изменяются, чтобы отражать новое распределение массы, скорректированное для лучшего соответствия нагрузкам. Особенностью используемого подхода является использование целевой функции со слагаемым, которое представляет из себя сумму квадратов разностных производных плотности по четырём направлениям. Это позволяет избежать резких изменений плотности и возникновения решётчатых структур на ранних итерациях. Для определения плотностей на каждой итерации используется модификация метода градиентного спуска Adam.
Реализованный алгоритм верифицирован на ряде тестовых примеров для плоских статических задач теории упругости. Приведены результаты расчетов, выполнено сравнение с
результатами, полученными другими авторами. Для одной из задач представлены результаты расчетов на разных сетках, которые позволяют сделать вывод о сеточной сходимости
алгоритма.
Об авторах
Владимир Анатольевич Левин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Константин Моисеевич Зингерман
Тверской государственный университет
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Анатолий Викторович Вершинин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Петр Андреевич Васильев
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Bendsøe M.P. Optimal shape design as a material distribution problem // Structural
2. Optimization. 1989. 1 (4), pp. 193–202.
3. Bendsøe M.P., Sigmund O. Topology Optimization. Theory, Methods and Applications. Berlin:
4. Springer, 2003.
5. Сысоева В.В., Чедрик В.В. Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций //
6. Учёные записи ЦАГИ. 2011. Т. XLII, № 2. С. 91–102.
7. Оганесян П.А., Шевцов С.Н. Оптимизация топологии конструкций в пакете Abaqus //
8. Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2014. Т. 16, № 6(2). С.
9. –549.
10. Боровиков А.А., Тушев О.Н. Разработка силовой конструкции космического аппарата с
11. использованием топологической оптимизации для двух вариантов технологии изготовле-
12. ния // Инженерный журнал: наука и инновации. 2018. № 9. С. 1–13.
13. Research Report: Generative Design and Topology Optimization: In-Depth Look
14. at the Two Latest Design Technologies [Электронный ресурс] URL: https://
15. www.engineering.com/ResourceMain.aspx?resid=826. (дата обращения: 22.10.2019).
16. Abbey T. Topology Optimization // Digital Engineering. June 2017. [Электронный ресурс]
17. URL: https://www.digitalengineering247.com/article/topology-optimization/
18. Abbey T. Topology Optimization Methods. Digital Engineering. September 2017. [Элек-
19. тронный ресурс] URL: https://www.digitalengineering247.com/article/topology-optimizationmethods
20. Abbey T. Topology Optimization. Part 3. Digital Engineering. October 2017. [Электронный
21. ресурс] URL: https://www.digitalengineering247.com/article/topology-optimization-2
22. Левин В.А., Вершинин А.В. Численные методы. Параллельные вычисления на ЭВМ.
23. (Нелинейная вычислительная механика прочности. Цикл монографий в 5 томах под. ред.
24. В.А. Левина. Т. 2). — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015.
25. Василевский Ю.В., Данилов А.А., Липников К.Н., Чугунов В.Н. Автоматизированные
26. технологии построения неструктурированных расчетных сеток. (Нелинейная вычисли-
27. тельная механика прочности. Цикл монографий в 5 томах под. ред. В.А. Левина. Т. 4.).
28. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015.
29. Charara M., Vershinin A., Sabitov D., Pekar G. SEM wave propagation in complex media with
30. tetrahedral to hexahedral mesh. [73-rd European Association of Geoscientists and Engineers
31. Conference and Exhibition] Vienna, Austria, 2011. P. 41—45.
32. Kukushkin A.V., Konovalov D.A., Vershinin A.V., Levin V.A. Numerical simulation in CAE
33. Fidesys of bonded contact problems on non-conformal meshes. Journal of Physics: Conference
34. Series. — 2019. — V. 1158, No. 2. Art. 032022.
35. Koga J.-I., Koga J., Homma S. Checkerboard problem to topology optimization of continuum
36. structures // Computational Engineering, Finance, and Science. 2013. arXiv:1309.5677 [cs.CE].
37. Болдырев А.В. Топологическая оптимизация силовых конструкций на основе модели пе-
38. ременной плотности // Известия Самарского научного центра Российской академии наук.
39. Т. 13. № 1–3. С. 670–673.
40. Brackett D., Ashcroft I., Hague R. Topology optimization for additive manufacturing // Proc.
41. SFF Symp. Austin Texas. — 2011. — P. 348—362.
42. Cheng L., Liang X., Bai J., Chen Q., Lemon J., To A. On utilizing topology optimization
43. to design support structure to prevent residual stress induced build failure in laser powder
44. bed metal additive manufacturing // Additive Manufacturing. 2019. V. 27. P. 290–304. Doi:
45. 1016/j.addma.2019.03.001.
46. Diaz A.R., Bendsøe M.P. Shape optimization of structures for multiple loading conditions
47. using a homogenization method // Structural Optimization. — 1992. — V. 4. — P. 17–22.
48. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. 4-е изд. М.: Ма-
49. шиностроение, 2003. 448 с.
50. Badriev I.B., Banderov V.V., Zadvornov O.A. On the solving of equilibrium problem for the
51. soft network shell with a load concentrated at the point // PNIPU Mechanics Bulletin. – 2013.
52. – No. 3. – P. 16–34.
53. Badriev I.B., Korablev A.I., Makarov M.V., Smirnova E.V. Mathematical simulation of the
54. bending problem of the hinged sandwich plate in physically nonlinear statement // Journal of
55. Physics: Conference Series. — 2019. — V. 1158, No. 2. — Art. 022013.
56. Badriev I.B., Banderov V.V., Paimushin V.N., Gazizullin R.K. Contact interaction of the
57. plate with supporting deformable bases under the conditions of bending // Journal of Physics:
58. Conference Series. — 2019. — V. 1158, No. 2. — Art. 022014.
59. Nikishkov G.P., Vershinin A.V., Nikishkov Y.G. Mesh-independent equivalent domain integral
60. method for j-integral evaluation // Advances in Engineering Software. –— 2016. — V. 100. —–
61. P. 308-–318.
62. Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Yakovlev M.Ya. Numerical analysis of effective
63. mechanical properties of rubber-cord composites under finite strains // Compos. Struct. —
64. — V. 131. –– P. 25—36.
65. Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M., Sboychakov A.M., Yakovlev M.Ya. Software for
66. estimation of second order effective material properties of porous samples with geometrical and
67. physical nonlinearity accounted for // Adv. Eng. Softw. 2015. V. 86. –– P. 80–84.
68. Levin V.A., Zingermann K.M. Effective Constitutive Equations for Porous Elastic Materials at
69. Finite Strains and Superimposed Finite Strains // Journal of Applied Mechanics, Transactions
70. ASME. – 2003. – V. 70 (6). – P. 809-816.
71. Коновалов Д.А., Яковлев М.Я. О численной оценке эффективных упругих характеристик
72. эластомерных композитов при конечных деформациях с использованием метода спек-
73. тральных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышёвский сборник. 2017. Т. 18, №
74. –– С. 316–329.
75. Yakovlev M.Ya, Lukyanchikov I.S., Levin V.A., Vershinin A.V., Zingerman K.M. Calculation
76. of the effective properties of the prestressed nonlinear elastic heterogeneous materials under
77. finite strains based on the solutions of the boundary value problems using finite element method
78. // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1158, No. 4. Art. 042037.
79. Levin V., Vdovichenko I., Vershinin A., Yakovlev M., Zingerman K. Numerical Estimation
80. of Effective Mechanical Properties for Reinforced Plexiglas in the Two-Dimensional Case //
81. Modelling and Simulation in Engineering, Art. 9010576, 2016. – 10 p.
82. Levin V.A., Vdovichenko I.I., Vershinin A.V., Yakovlev M.Y., Zingerman K.M. An approach
83. to the computation of effective strength characteristics of porous materials // Letters on
84. materials. 2017. V. 7, No. 4. –– P. 452–454.
85. Эглит М. Э. Лекции по основам механики сплошных сред. Изд. стереотип. М.: ЛЕНАНД,
86. — 208 с.
87. Морозов Е.М., Левин В.А., Вершинин А.В. Прочностной анализ. Фидесис в руках инже-
88. нера. —– М.: URSS, 2015. –— 408 с.
89. Konovalov D., Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element
90. method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes
91. // Modelling and Simulation in Engineering. –— 2017. — V. 2017. Art. 1797561. DOI:
92. 1155/2017/1797561.
93. Karpenko V.S., Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M. Some results of mesh convergence
94. estimation for the spectral element method of different orders in fidesys industrial package
95. // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. –— 2016. — V. 158. Art. 012049.
96. Kukushkin A.V., Konovalov D.A., Vershinin A.V., Levin V.A. Numerical simulation in CAE
97. Fidesys of bonded contact problems on non-conformal meshes // Journal of Physics: Conference
98. Series. –— 2019. –— V. 1158, No. 2. —– Art. 032022.
99. Kingma D.P., Ba J.L. Adam: a Method for Stochastic Optimization // Proc. 3-rd International
100. Conference on Learning Representations. 2015. arXiv:1412.6980 [cs.LG]. P. 1—13.
101. Ogden R. Non-linear elastic deformations. Ellis Horwood: Chichester, 1984.
102. Lurie A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. North-Holland, Amsterdam, 1990.
103. Kislitsyn V.D., Mokhireva K.A., Shadrin V.V., Svistkov A.L. Research and modeling of
104. viscoelastic behavior of elastomeric nanocomposites// PNRPU Mechanics Bulletin, 2021,
105. (2), p. 76–87.
106. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a
107. composite beam with preliminarily strained layers under large strains// International Journal
108. of Solids and Structures. 2015. V. 67–68. P. 244–249.
109. Zingerman K.M., Levin V.A. Redistribution of finite elastic strains after the formation of
110. inclusions. Approximate analytical solution// Journal of Applied Mathematics and Mechanics.
111. V. 73 (6). P. 710–721.
112. Levin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successive
113. origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains// Communications in
114. Numerical Methods in Engineering. 2008. V. 24 (12). P. 2240–2251.
Рецензия
Для цитирования:
Левин В.А., Зингерман К.М., Вершинин А.В., Васильев П.А. Топологическая оптимизация элементов конструкций с учетом структурной неоднородности материала с использованием градиентного метода. Чебышевский сборник. 2022;23(4):308-326. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-308-326
For citation:
Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Vasilyev P.A. Topology optimization of structural elements using gradient method with account for the material’s structural inhomogeneity. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(4):308-326. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-308-326
Просмотров: 90
Послать статью по эл. почте 