Обратная задача для основного моноида типа 𝑞
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-64-76
Аннотация
В работе для произвольного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 решается обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида 𝑀(P(𝑞)), исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞.
Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.
Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает.
Введено новое понятие 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности.
Показано, что любой моноид 𝑀(P(𝑞)) для последовательности псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞 имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞.
Показано, что если 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность для основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 существует, то 𝜃 = 1
2 и для константы 𝐶 справедливы неравенства
𝜋√︁1/(3ln𝑞)<= 𝐶 <= 𝜋√︁2/(3ln𝑞).
Полученные результаты аналогичны ранее полученным авторами при решении обратной задачи для моноидов, порожденных произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа 𝑞.
Для основных моноидов 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 остается открытым вопрос о существовании 𝐶 логарифмической 1 2-степенной плотности и величине константы 𝐶.
Об авторах
Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого; Тульский государственный университет
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Ирина Юрьевна Реброва
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Николай Михайлович Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66,
2. вып. 2(398). С. 15–66.
3. Б. М. Бредихин, “Остаточный член в асимптотической формуле для функции 𝜈𝐺(𝑥)”, Изв.
4. вузов. Матем., 1960, 6, 40–49.
5. Б. М. Бредихин, “Элементарное решение обратных задач о базисах свободных полу-
6. групп”, Матем. сб., 50(92):2 (1960), 221–232.
7. Б. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Докл.
8. АН СССР, 118:5 (1958), 855–857.
9. Б. М. Бредихин, “О степенных плотностях некоторых подмножеств свободных полу-
10. групп”, Изв. вузов. Матем., 1958, 3, 24–30.
11. Б. М. Бредихин, “Свободные числовые полугруппы со степенными плотностями”, Матем.
12. сб., 46(88):2 (1958), 143–158.
13. Б. М. Бредихин, “Пример конечного гомоморфизма с ограниченной сумматорной функ-
14. цией”, УМН, 11:4(70) (1956), 119–122.
15. Б. М. Бредихин , Некоторые вопросы теории характеров коммутативных полугрупп, Тру-
16. ды 3-го Всесоюзн. матем. съезда, т. I, Москва, Изд. АН СССР (1956), 3.
17. Б. М. Бредихин , О сумматорных функциях характеров числовых полугрупп, ДАН 94
18. (1954), 609 — 612.
19. Б. М. Бредихин , О характерах числовых полугрупп с достаточно редкой базой, ДАН 90
20. (1953), 707 — 710.
21. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физ-матлит, 1994. — 376 с.
22. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. — М.: Наука, 1968. — 618 с.
23. Демидов С. С., Морозова Е. А., Чубариков В. Н., Реброва И. Ю., Балаба И. Н., Добро-
24. вольский Н. Н., Добровольский Н. М., Добровольская Л. П., Родионов А. В., Пихтилько-
25. ва О. А. Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. —
26. Т. 18, вып. 4. — С. 6–85.
27. М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Б. Кожухов, И.
28. Ю. Реброва. Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел // Чебы-
29. шевcкий сборник. 2022. Т. 23, вып. 3, С. 102–117.
30. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным раз-
31. ложением на простые множители // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187–207.
32. Добровольский Н. Н. О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на
33. простые элементы // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 79–105.
34. Добровольский Н. Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходи-
35. мости // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 142–150.
36. Добровольский Н. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-
37. бышевcкий сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148–163.
38. Н. Н. Добровольский, “Об абсциссе абсолютной сходимости одного класса обобщенных
39. произведений Эйлера”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 464–469
40. Н. Н. Добровольский. Распределение простых элементов в некоторых моноидах натураль-
41. ных чисел // Матем. заметки (в печати).
42. Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Балаба И. Н., Ребро-
43. ва И. Ю. Гипотеза о ”заградительном ряде” для дзета-функций моноидов с экспоненциаль-
44. ной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. — Т. 19, вып. 1. — С. 106–123.
45. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба,
46. И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевcкий
47. сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180–196.
48. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды на-
49. туральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий
50. сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–179.
51. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О ко-
52. личестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел // Чебышевcкий
53. сборник. 2018. — Т. 19, вып. 2. — С. 123–141.
54. Добровольский Н. Н., Калинина А. О., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О мо-
55. ноиде квадратичных вычетов // Чебышевcкий сборник. 2018. — Т. 19, вып. 3. — С. 95–108.
56. Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Обратная задача для моноида
57. с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевcкий сборник, 2020, Т. 21,
58. вып. 1, С. 165–185.
59. А. Г. Постников Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
60. Е. К. Титчмарш Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.
61. Э. Трост Простые числа — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. — 136 с.
62. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.
63. Чудаков Н. Г. Введение в теорию 𝐿-функций Дирихле. — М. – Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.
64. H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc.
65. Vol. 11. P. 181–185.
Рецензия
При поддержке: Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта РНФ № 22-21-00544
Для цитирования:
Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М. Обратная задача для основного моноида типа 𝑞. Чебышевский сборник. 2022;23(4):64-76. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-64-76
For citation:
Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Yu., Dobrovol’skii N.M. The inverse problem for a basic monoid of type 𝑞. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(4):64-76. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-64-76
Просмотров: 84
Послать статью по эл. почте 