Гипотеза Боаса на оси для преобразования Фурье — Данкля и его обобщения

Вопрос интегрируемости преобразования Фурье и других интегральных преобразований ℱ(𝑓) на классах функций в весовых пространствах 𝐿𝑝(R𝑑) является фундаментальной проблемой гармонического анализа. Классический результат Хаусдорфа–Юнга говорит, что если функция 𝑓 из 𝐿𝑝(R𝑑) при 𝑝 ∈ [1, 2], то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝′(R𝑑).
При 𝑝 > 2 преобразование Фурье в общей ситуации будет обобщенной функцией. Определить преобразование Фурье как обычную функцию при 𝑝 > 2 можно за счет рассмотрения весовых пространств 𝐿𝑝(R𝑑). В частности, из классического неравенства Питта следует, что если 𝑝, 𝑞 ∈ (1,∞), 𝛿 = 𝑑( 1/(𝑞 − 1)𝑝′ ), 𝛾 ∈ [(𝛿)+, 𝑑𝑞 ) и функция 𝑓 интегрируема в 𝐿𝑝(R𝑑) со степенным весом |𝑥|𝑝(𝛾−𝛿), то ее преобразование Фурье ℱ(𝑓) принадлежит пространству 𝐿𝑞(R𝑑) с весом |𝑥|−𝑞𝛾. Случай 𝑝 = 𝑞 отвечает известному неравенству Харди–Литлвуда.
Возникает вопрос о расширении условий интегрируемости преобразования Фурье при
дополнительных условиях на функции. В одномерном случае G. Hardy и J. Littlewood доказали, что если 𝑓 — четная невозрастающая стремящаяся к нулю функция и 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) для 𝑝 ∈ (1,∞), то ℱ(𝑓) принадлежит 𝐿𝑝(R) с весом |𝑥|𝑝−2. R. Boas (1972) предположил, что для монотонной функции 𝑓 принадлежность | · |𝛾−𝛿𝑓 ∈ 𝐿𝑝(R) эквивалентна | · |−𝛾ℱ(𝑓) ∈ 𝐿𝑝(R) тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ (− 1/𝑝′ , 1/𝑝 ). Одномерная гипотеза Боаса была доказана
Y. Sagher (1976).
D. Gorbachev, E. Liflyand и S. Tikhonov (2011) доказали многомерную гипотезу Боаса для радиальных функций, причем на более широком классе обобщенно монотонных неотрицательных радиальных функций 𝑓: ‖| · |−𝛾ℱ(𝑓)‖𝑝 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝 тогда и только тогда, когда 𝛾 ∈ ( 𝑑/𝑝 − 𝑑+1/2 , 𝑑
𝑝 ), где 𝛿 = 𝑑( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ). Для радиальных функций преобразование Фурье выражается через преобразование Бесселя полуцелого порядка, которое сводится к классическому преобразованию Ханкеля и включает косинус- и синус-преобразования Фурье. Для последних гипотеза Боаса доказана E. Liflyand и S. Tikhonov (2008). Для
преобразования Бесселя–Ханкеля с произвольным порядком гипотеза Боаса доказана L. De Carli, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2013). D. Gorbachev, V. Ivanov и S. Tikhonov (2016) обобщили данные результаты были на случай (𝜅, 𝑎)-обобщенного преобразования
Фурье. A. Debernardi (2019) изучил случай преобразования Ханкеля и обобщенно моно-
тонных знакопеременных функций.
До сих пор гипотеза Боаса рассматривалась для функций на полуоси. В данной работе она изучается на всей оси. Для этого рассматривается интегральное преобразование Данкля, которое для четных функций сводится к преобразованию Бесселя–Ханкеля.
Также показывается, что гипотеза Боаса остается справедливой для (𝜅, 𝑎)-обобщенного
преобразования Фурье, при 𝑎 = 2 дающее преобразование Данкля. В итоге имеем

‖| · |−𝛾ℱ𝜅,𝑎(𝑓)‖𝑝,𝜅,𝑎 ≍ ‖| · |𝛾−𝛿𝑓‖𝑝,𝜅,𝑎,

где 𝛾 ∈ ( 𝑑𝜅,𝑎/𝑝 − (𝑑𝜅,𝑎+𝑎/2)/2 , 𝑑𝜅,𝑎
𝑝 ), 𝛿 = 𝑑𝜅,𝑎( 1/𝑝 − 1/𝑝′ ), 𝑑𝜅,𝑎 = 2𝜅 + 𝑎 − 1.

1. Benedetto J.J., Heinig H.P. Weighted Fourier inequalities: New proofs and generalizations //

2. J. Fourier Anal. Appl. 2003. Vol. 9. P. 1–37.

3. Boas R.P. The integrability class of the sine transform of a monotonic function // Studia Math.

4. Vol. 44. P. 365–369.

5. Debernardi A. The Boas problem on Hankel transforms // J. Fourier Anal. Appl. 2019. Vol. 25.

6. P. 3310–3341.

7. De Carli L., Gorbachev D., Tikhonov S. Pitt and Boas inequalities for Fourier and Hankel

8. transforms // J. Math. Anal. Appl. 2013. Vol. 408, no. 2. P. 762–774.

9. De Carli L., Gorbachev D., Tikhonov S. Weighted gradient inequalities and unique continuation

10. problems // Calc. Var. Partial Dif. 2020. Vol. 59, no. 3. Article 89.

11. Dyachenko M., Liflyand E., Tikhonov S. Uniform convergence and integrability of Fourier

12. integrals // Jour. Math. Anal. Appl. 2010. Vol. 372. P. 328–338.

13. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Pitt’s inequalities and uncertainty principle for

14. generalized Fourier transform // Int. Math. Res. Notices. 2016. Vol. 23. P. 7179–7200.

15. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Sharp approximation theorems and Fourier

16. inequalities in the Dunkl setting // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 258. Article 105462.

17. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Riesz potential and maximal function for Dunkl

18. transform // Potential Anal. 2021. Vol. 55. P. 513–538.

19. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. On the kernel of the (𝜅, 𝑎)-generalized Fourier

20. transform // arXiv:2210.15730. 2022.

21. Gorbachev D., Liflyand E., Tikhonov S.Weighted Fourier inequalities: Boas’ conjecture in R𝑛 //

22. J. d’Anal. Math. 2011. Vol. 114. P. 99–120.

23. Gorbachev D., Liflyand E., Tikhonov S. Weighted norm inequalities for integral transforms //

24. Indiana Univ. Math. J. 2018. Vol. 67, no. 5. P. 1949–2003.

25. Liflyand E., Tikhonov S. Extended solution of Boas’ conjecture on Fourier transforms // C.R.

26. Math. Acad. Sci. Paris. 2008. Vol. 346. P. 1137–1142.

27. Liflyand E., Tikhonov S. Two-sided weighted Fourier inequalities // Ann. Sc. Norm. Super.

28. Pisa Cl. Sci. (5). 2012. Vol. XI. P. 341–362.

29. Sagher Y. Integrability conditions for the Fourier transform // J. Math. Anal. Appl. 1976.

30. Vol. 54. P. 151–156.