Целочисленная аппроксимация отрезка

Пусть 𝑂𝑋𝑌 — декартова система координат с целочисленной решёткой, единичные квадраты которой раскрашены в шахматном порядке. Целочисленная аппроксимация отрезка 𝐴𝐵 задается с помощью клетчатой области S𝐴𝐵 из (раскрашенных) клеток, внутренность каждого из которых имеет непустое пересечение с 𝐴𝐵. Если 𝑃±𝐴𝐵 — правая и левая замкнутые полуплоскости, определяемые прямой 𝑙𝐴𝐵 посредством точки 𝐴 и 𝐵, то
S±𝐴𝐵 = S𝐴𝐵 ∩𝑃±𝐴𝐵 — его правая и левая области. (Внутри S𝐴𝐵 нет целых точек.) Ломанные L±(𝐴±,𝐵±) из S± 𝐴𝐵 с концами 𝐴± и 𝐵± и целыми вершинами — правая и левая (целочисленными) аппроксимациями отрезка 𝐴𝐵 — концы выбираются из вершин крайних клеток.
Если 𝑙𝐴𝐵 параллельна одной из осей координат, то полагаем S𝐴𝐵 = ? и тогда аппроксимация отрезка 𝐴𝐵 есть минимальный отрезок с целыми концами, содержащий 𝐴𝐵. Такие аппроксимации строятся с помощью алгоритма “вытягивания носов”, который представляет собой геометрическую интерпретацию цепной дроби углового коэффициента прямой 𝑙𝐴𝐵. На основании этого метода построения получена точная формула для вычисления
числа целых точек внутри произвольного треугольника, а также частично решена задача С. В. Конягина о шахматной раскраске: Если U(𝑡) множество всех раскрашенных клеток из треугольника, отсекаемого прямой 𝑓𝑡 : 𝑦 = −𝛼𝑥+𝑡, 𝛼, 𝑡 > 0, то разность 𝑢(𝑡) между
белыми и черными клетками из U(𝑡)для каждого положительного иррационального 𝛼 не ограничена ни снизу, ни сверху, когда 𝑡 → ∞.
Решение получено для чисел вида: 𝑒±1, tg±1, [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .]±1, [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .]±1,[𝑎+0 ; 𝑎−1 , 𝑎+2 , . . .]±1, где верхний индекс плюс (минус) указывает на четность (нечетность)
элемента цепной дроби, определяемой 𝛼.
Метод построения аппроксимации отрезка был применен при решении задачи о шахматной раскраске для чисел
(√5+1)/2 , [𝑎+0 ; 𝑎+1 , 𝑎+2 , . . .], 𝑎−2𝑛+1 и [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .], если ограничено 2𝑘−1𝑏3𝑏9 · · · 𝑏6(𝑘−1)+3 + · · · + 22Σ︀𝑘
𝑖1>𝑖2>𝑖3=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 𝑏6(𝑘−𝑖3)+3 + 2
Σ︀𝑘 𝑖1>𝑖2=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3𝑏6(𝑘−𝑖2)+3 + Σ︀𝑘 𝑖=1 𝑏6(𝑘−𝑖1)+3 + 1,
для некоторых 𝑏𝑛 = ⌊︁𝑎−𝑛−12⌋︁, представляющих целую часть 𝑎−
(𝑛−1)/2 . Так при 𝑏𝑛 = 0 цепная дробь [𝑎−0 ; 𝑎−1 , 𝑎−2 , . . .] =
(√5+1)/2 .

1. Хинчин А. Я., 1978, 4-ое изд. Цепные дроби. Наука, Москва, 112 с.

2. Бухштаб А. А., 1966. Теория чисел. Просвещение, Москва, 376 с.

3. Нестеренко Ю.,В., 2008. Теория чисел. Издательский центр “Академия”, Москва, 272 с.

4. Нестеренко Ю.В., Никишин Е. М., 1983, Очерк о цепных дробях. //Квант, Москва, № 5,

5. –20 с., № 6, 26–30 с.

6. Михалович Ш.X., 1967. Теория чисел. Высшая школа, Москва, 336 c.

7. Александров П. С, Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. (редакторы), 1951. Энциклопедия эле-

8. ментарной математики.Книга 1. Арифметика. Москва – Ленинград, ТТЛ, 448 с.

9. Васильев H. Б., 1974. Вокруг формулы Пика // Квант, Москва, № 12, С.39–43

10. Вавилов В. В., Устинов А. В., 2006, Многоугольники на решетках. МЦНМО, Москва, 72 с.

11. Grunbaum, Branko, and G. C. Shephard., 2001. Pick’s Theorem. // The American Mathematical

12. Monthly, vol. 100, no. 2, Mathematical Association of America, 1993, pp. 150–61,

13. Арнольд В. И., 2001. Цепные дроби. МЦНМО, Москва, 40 с.

14. Дэвенпорт Г., 1965, Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. Наука, Москва, 176

15. с.

16. Клейн Ф., 1987, 4-ое издание. Элементарная математика с точки зрения высшей. Ариф-

17. метика. Алгебра. Анализ Наука, Москва, Том I, 432 с.

18. Khovanova T., Konyagin S. 2011 Sequences of Integers with Missing Quotients and Dense Points

19. Without Neighbors. arXiv:1104.0441v1 [math.CO] (4 Apr 2011), pp.1–20.

20. Галламов М. М. Прямые 𝑦 = −𝑒 · 𝑥 + 𝑡 и шахматная раскраска // «Алгебра, теория чи-

21. сел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории».

22. Материалы XVI Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения

23. профессора Мишеля Деза. Тула, 13–18 мая 2019 г. С. 247–250.

24. Галламов М. М. Прямые 𝑦 = 1−

25. √

26.

27. · 𝑥+𝑠 и шахматная раскраска // «Алгебра, теория чи-

28. сел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории».

29. Материалы XVII Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения

30. профессора Наума Ильича Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров

31. Аскольда Ивановича Виноградова, Александра Васильевича Малышева и Бориса Фадде-

32. евича Скубенко. Тула, 23–29 сентябрь 2019 г. С. 142–245.

33. Галламов М. М. Прямые 𝑦 = −[𝑎±0 ; 𝑎±1 , 𝑎±2 , ...]·𝑥+𝑡 с четными 𝑎+𝑛и нечетными 𝑎−𝑛= 𝑎(̸= 1)

34. и шахматная раскраска // «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные

35. проблемы, приложения и проблемы истории». Материалы XVIII Международной конфе-

36. ренции, посвященная столетию со дня рождения профессоров Бориса Максимовича Бре-

37. дихина, Василия Ильича Нечаева и Сергея Борисовича Стечкина. Тула, 23–26 сентября

38. г. С. 261–265.

39. Галламов М. М. Целочисленная аппроксимация отрезка // «Алгебра, теория чисел и дис-

40. кретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории». Матери-

41. алы XXI Международной конференции, посвященная 85-летию со дня рождения А. А.

42. Карацубы. Тула, 17–21 мая 2022 г. С. 235–238.