значениях гипергеометрической функции с параметром из алгебраического поля четвертой степени

Аннотация

Исследование арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических функций с рациональными параметрами часто проводится с помощью метода Зигеля.
Этим методом были получены наиболее общие результаты, относящиеся к данной проблеме. Основной недостаток метода Зигеля (в его классической форме) состоит в невозможности применения этого метода к гипергеометрическим функциям с иррациональными параметрами. В этой ситуации исследование обычно основывается на эффективной конструкции функциональной приближающей формы (в методе Зигеля существование такой формы доказывается с помощью принципа Дирихле). Заметим еще, что построение приближающей формы является лишь первым шагом на пути к получению арифметического результата.
Используя эффективный метод, мы сталкиваемся по крайней мере с двумя проблемами, которые в значительной степени сужают область его применимости. Во-первых, неизвестна более или менее общая конструкция эффективной приближающей формы для произведений гипергеометрических функций. По этой причине приходится рассматривать лишь вопросы линейной независимости над тем или иным алгебраическим полем. Выбор этого поля является второй проблемой. Подавляющее большинство опубликованных результатов, относящихся к рассматриваемому кругу задач, имеет дело с мнимым квадратичным полем (или с полем рациональных чисел). Лишь в отдельных случаях удается провести соответствующее исследование для какого-либо другого алгебраического поля.
В данной работе рассматривается случай поля четвертой степени. С помощью специального технического приема устанавливается линейная независимость над таким полем значений некоторой гипергеометрической функции с иррациональным параметром из этого поля.