О подгруппах в группах Артина с древесной структурой

Аннотация

В статье автор продолжает рассматривать вопросы, связанные с проблемой свободы в группах Артина с древесной структурой и опубликованные совместно с В. Н. Безверхним в Чебышевском сборнике в 2014 году. В частности, доказывается следующая теорема о подгруппах для групп Артина с древесной структурой: если 𝐻 – конечно порожденная подгруппа группы Артина с древесной структурой, причем пересечение 𝐻 с любой
подгруппой, сопряженной циклической подгруппе. порожденной образующим элементом группы, есть единичная подгруппа, то существует алгоритм, описывающий процесс построения свободных подгрупп в 𝐻.
Изучением свободных подгрупп в различных классах групп занимались многие выдающиеся математики, основополагающие результаты изложены в ряде учебников по теории групп, монографиях и статьях.
Группы Артина активно изучаются с начала прошлого века. Если группе Артина соответствует конечный дерево-граф такой, что его вершинам соответствуют образующие группы, а всякому ребру, соединяющему вершины, соответствует определяющее соотношение, связывающее соответствующие образующие, то мы имеем группу Артина с древесной структурой.
Группу Артина с древесной структурой можно представить как древесное произведение двупорожденных групп Артина, объединенных по бесконечным циклическим подгруппам.
В процессе доказательства основного результата использовались: приведение множества образующих к специальному множеству, введенному В. Н. Безверхним как обобщение нильсеновского множества на свободные произведения групп с объединением, а также представление подгруппы в виде свободного произведения групп и задание группы с помощью графа.