Моноид произведений дзета-функций моноидов натуральных чисел

Аннотация

В работе изучаются алгебраические структуры, возникающие относительно операции умножения двух множеств натуральных чисел. Основными объектами изучения выступают моноид MN моноидов натуральных чисел и моноид SN произведений произвольных подмножеств натурального ряда. Также моноидом будет SN* = SN ∖ {∅}.
Важным свойством этих моноидов является тот факт, что множество всех идемпотентов в моноиде SN, кроме нулевого элемента, совпадает с множеством идемпотентов моноида SN* и образует моноид MN.
Наличие такого факта позволило рассмотреть порядок. Относительно порядка 𝐴 6 𝐵 и бинарных операций inf, sup моноид MN является не модулярной, полной А-решёткой.
В работе различаются понятия А-решётки как объекта общей алгебры и Т-решётки как объекта теории чисел и геометрии чисел.
В работе определена структура полного метрического пространства с неархимедовой метрикой на моноиде SN. Это позволило доказать теорему о сходимости последовательно-
сти рядов Дирихле по сходящимся последовательностям натуральных чисел.
Если рассмотреть произведение двух дзета-функций моноидов натуральных чисел, то оно будет дзета-функцией моноида натуральных чисел только тогда, когда эти моноиды взаимно просты. В общем случае их произведение будет рядом Дирихле с натуральными коэффициентами по моноиду, равному произведению моноидов сомножителей. Этот моноид, порожденный дзета-функциями моноидов натуральных чисел, обозначается через MD. Показано что моноиды MN и MD неизоморфны.
В работе определены две малые категории ℳ𝒩 и 𝒮𝒩 и изучены некоторые их свойства.