Метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-3-5-18
Аннотация
В этой статье изучаются свойства метрического сегмента в классе всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, с расстоянием Громова — Хаусдорфа. При ограничении на компактные метрические пространства, расстояние Громова — Хаусдорфа становится метрикой. Метрическим сегментом называется класс точек, лежащих между двумя данными. По аксиоматике теории множеств фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NGB) собственный класс — это такое «огромное семейство», эквивалентное классу всех множеств, которое уже само множеством не является. В этой статье показано, что любой метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа, при условии, что существует
хотя бы одно метрическое пространство, лежащее на ненулевых расстояниях до концевых точек сегмента, является собственным классом. А сегмент, у которого расстояние между концевыми точками равно нулю — множество. Также доказано, что при ограничении на компактные метрические пространства невырожденный метрический сегмент не является
компактным множеством.
Ключевые слова
Расстояние Громова — Хаусдорфа,
класс всех метрических про- странств,
аксиоматика фон-Неймана — Бернайса — Гёделя,
метрический сегмент,
ком- пактность.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект №19- 01-00775а) и стипендии Фонда развития теоретической физики и математики «БАЗИС» (грант №20-8-2-8-1).
Об авторе
Ольга Борисовна Борисова
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
Список литературы
1. Hausdorff F. Grundz¨uge der Mengenlehre. Leipzig: Veit, 1914 [reprinted by Chelsea in 1949].
2. Gromov M. Groups of Polynomial growth and Expanding Maps. // В сборнике: Publications
3. Mathematiques Paris: I.H.E.S., Vol. 53, 1981.
4. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. Москва – Ижевск:
5. Изд-во Института компьютерных исследований, 2004. — 496 с.
6. Edwards D. The Structure of Superspace. // В сборнике: Studies in Topology, ed. by Stavrakas
7. N. M. and Allen K. R., New York London San Francisco: Academic Press, Inc., 1975.
8. Tuzhilin A. A. Who Invented the Gromov–Hausdorff Distance? // ArXiv e-prints. 2017.
9. arXiv:1612.00728.
10. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. / Мендельсон Э.; пер. с англ. Ф.А.
11. Кабакова под ред. С.И. Адяна. 2-ое из., исправленное. Москва, из. «Наука» гл. ред. физ-
12. мат. лит., 1976. — 320 с.
13. Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия расстояний Хаусдорфа и Громова — Хаусдорфа:
14. случай компактов. М.: Изд-во Попечительского совета мех-мат ф-та МГУ, 2017. — 111 с.
15. Иванов А. О., Николаева Н. К., Тужилин А. А. Метрика Громова — Хаусдорфа на про-
16. странстве метрических компактов — строго внутренняя. // Матем. заметки. 2016. Т. 100,
17. № 6. C. 947–950 (arXiv:1504.03830).
18. Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A., Realizations of Gromov–Hausdorff Distance. // ArXiv
19. e-prints, 2016. arXiv:1603.08850.
20. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A., Hausdorff realization of linear geodesics of Gromov–Hausdorff
21. space. // ArXiv e-prints. 2019. arXiv: 1904.09281.
22. Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Isometry group of Gromov–Hausdorff space. // Matematicki
23. Vesnik. 2019. Vol. 71, № 1–2. P. 123–154.
24. Memoli F. On the Use of Gromov–Hausdorff Distances for Shape Comparison. // В сборнике:
25. Proceedings of Point Based Graphics 2007, Ed. by Botsch M., Pajarola R., Chen B., and Zwicker
26. M., The Eurographics Association, Prague, 2007, pp. 81–90.
27. Клибус Д.П. Курсовая работа. Компактная выпуклость шаров в пространстве Громова —
28. Хаусдорфа. [Электронный ресурс]. / Сайт кафедры дифф.геом. и прилож. мех-мата МГУ:
29. Москва: 2018. — Режим доступа: http://dfgm.math.msu.su/files/0students/2018-kr5-klibus.
30. pdf, свободный.
31. John L. Kelley. General topology. / D. van Nostrand Company, Inc., New York, Toronto, and
32. London, 1955.
33. Энгелькинг Р. Общая топология. / пер. с англ. М. Я. Антоновского и А.В. Архангельского.
34. Москва: Мир, 1986. — 752 c.
Рецензия
Для цитирования:
Борисова О.Б. Метрический сегмент в классе Громова — Хаусдорфа. Чебышевский сборник. 2022;23(3):5-18. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-3-5-18
For citation:
Borisova O.B. Metric Segments in Gromov–Hausdorff class. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(3):5-18. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-3-5-18
Просмотров:
261
Послать статью по эл. почте 