Об аналоге задачи Эминяна для системы счисления Фибоначчи

Аннотация

Гельфонд доказал равномерность распределения сумм цифр двоичных разложений натуральных чисел по арифметическим прогрессиям. В дальнейшем этот результат был обобщен на многие другие системы счисления, в том числе, на систему счисления Фибоначчи.
Эминян нашел асимптотическую формулу для количества натуральных чисел 𝑛, не превосходящих заданного, у которых 𝑛 и 𝑛 + 1 имеют заданную четность суммы цифр
двоичного разложения. Недавно данный результат был обобщен Шутовым на случай разложений натуральных чисел в систему счисления Фибоначчи.
В настоящей работе мы рассматриваем более общую задачу о количестве натуральных чисел 𝑛, не превосходящих заданного 𝑋, у которых 𝑛 и 𝑛 + 𝑙 имеют заданную четность
суммы цифр разложения в систему счисления Фибоначчи. Приведен метод, позволяющий получить асимптотическую формулу для данного количества при всех 𝑙. В основе метода
– изучение некоторых специальных сумм, связанных с задачей и рекуррентных соотношений, которым удовлетворяют эти суммы. Показано, что при всех 𝑙 и при всех вариантах четности главный член асимптотики отличен от ожидаемого значения 𝑋/4 . Также доказано, что остаточный член имеет порядок 𝑂(log𝑋). В случае 𝑙 ≤ 10 константы в главном члене асимптотической формулы найдены в явном виде.
В заключении работы сформулирован ряд открытых проблем для дальнейшего исследования.