Линейные многообразия проекторов

Аннотация

В работе показано, что линейное многообразие матриц вида: Q=Q0+Σ︀a𝑖P𝑖, может состоять из одних проекторов. Оказывается, для этого необходимо и достаточно, чтобы
P𝑖=Q𝑖-Q0 и все матрицы Q𝑖 были проекторами, причем: (Q𝑖-Q𝑗)2=0 для любой пары i и j. Установлено, что все проекторы, составляющие это линейное многообразие, имеют один
ранг и любая пара A,B этих проекторов удовлетворяет (A-B)2=0.
Найдены несколько условий, эквивалентных тому, что два проектора A,B удовлетворяют (A-B)2=0, одно из них в терминах подпространств, определяющих эти проекторы.
Пусть n порядок проекторов Q𝑖, r — их ранг, тогда показано, что максимальное число линейно независимых матриц P𝑖=Q𝑖-Q0 таких, что выполняются условия (Q𝑖-Q𝑗)2=0,
равно r(n-r). Поэтому, любой проектор ранга r можно представить в виде суммы ортопроектора Q0 и линейной комбинации не более, чем r(n-r) проекторов Q𝑖, так, что выполняется (Q𝑖-Q𝑗)2=0, i,j=0,1,..,r(n-r).
В работе вычислено минимальное расстояние между двумя проекторами рангов k и l — |𝑘 − 𝑙|1/2. Максимальное расстояние между двумя ортопроекторами одного ранга k —
(2𝑘)1/2.
Установлено, что многочлен h(p,q)=(p-q)2 играет особую роль для алгебры 𝒜(𝑝, 𝑞), порождаемой проекторами p,q,I. Многочлен h порождает центр этой алгебры — множество
элементов коммутирующих со всеми элементами 𝒜(𝑝, 𝑞).