Биллиардные книжки малой сложности и реализация слоений Лиувилля интегрируемых систем
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-53-82
Аннотация
В статье изучается топология интегрируемых биллиардных книжек, то есть систем на клеточных комплексах, склеенных из столов плоских софокусных биллиардов. Получены существенные продвижения по доказательству локальной версии гипотезы Фоменко о биллиадах. В частности, биллиардами удалось реализовать важный класс подграфов в графе-инварианте Фоменко–Цишанга, классифицирующем интегрируемые системы с точки зрения топологии их слоений Лиувилля. Затем выполнена комбинаторная классификация биллиардных книжек малой сложности (имеющих малое число одномерных клеток), склеенных из плоских областей, содержащие фокусы семейства квадрик. Для этих систем ведется вычисление инвариантов Фоменко–Цишанга.
При поддержке: Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 20-71-00155 в МГУ имени М.В.Ломоносова).
Об авторах
Виктория Викторовна Ведюшкина
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук
Владислав Александрович Кибкало
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Биркгоф Дж. Динамические системы // Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.
2. Табачников С. Л. Геометрия и биллиарды // М.-Ижевск:НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский инсn. комп. исслед., 2011.
3. Драгович В., Раднович М. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе // М.; Ижевск, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2010.
4. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами, М.: Изд-во МГУ, 1991.
5. Glutyuk A. On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature // J. of the Europ. Math. Soc. 2021. V. 23, №3. P. 995-1049.
6. Kaloshin V., Sorrentino A. On the local Birkhoff conjecture for convex billiards // Ann. of Math. 2018. V. 188, №1. P. 315-380.
7. Ведюшкина В. В., Харчева И. С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. Т. 209, №12. С. 17-56.
8. Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности // Вестн. Моск. Унив., Матем. Мех. 2019. №3. С. 15-25.
9. Фокичева В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // ДАН. 2015. Т. 465,№2. С. 150-153.
10. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии некоторых интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, №6. С. 1276-1307.
11. Фоменко А.Т, Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, №3. С. 546-575.
12. Болсинов А. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. T.1, 2 // Ижевск: Изд. дом “Удмуртский университет”. 1999.
13. Ведюшкина В.В., Харчева И. С. Биллиардные книжки реализуют все базы слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2021. T. 212, №8. C. 89-150.
14. Ведюшкина В. В., Кибкало В. А. Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем // Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех. 2020. №4. С. 22-28.
15. Ведюшкина В. В. Локальное моделирование слоений Лиувилля бильярдами: реализация реберных инвариантов // Вестн. Моск. Унив. Матем. Механ. №2. С. 60-64.
16. Ведюшкина В. В., Кибкало В. А., Фоменко А.Т. Топологическое моделирование интегрируемых систем биллиардами: реализация числовых инвариантов // Докл. РАН. Матем., Механ. Процессы упр. 2020. Т. 493. С. 9-12.
17. Якоби К. Лекции по динамике, М., Л. ОНТИ. 1936.
18. Glutsyuk A. A. On Two-Dimensional Polynomially Integrable Billiards on Surfaces of Constant Curvature // Dokl. Math. 2018. V. 98, №1. P. 382-385.
19. Bialy M., Mironov A. E. Algebraic non-integrability of magnetic billiards // J. Phys. A. 2016. V. 49, №45. P. 455101.
20. Glutsyuk A. A., On commuting billiards in higher-dimensional spaces of constant curvature // Pacific J. Math. 2020. V. 305, №2. P. 577-595.
21. Vedyushkina V. V, Fomenko A. T., Kharcheva I. S., Modeling nondegenerate bifurcations of closures of solutions for integrable systems with two degrees of freedom by integrable topological billiards // Dokl. Math. 2018. V. 97, №2. P. 174-176.
22. Dragovi´𝑐 V., Radnovi´𝑐 M. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. V. 14, №4-5. P. 479-494.
23. Фокичева В. В. Описание особенностей системы “биллиард в эллипсе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. №5. С. 31-34.
24. Фокичева В. В., Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами или гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014, №4. С. 18-27.
25. Dragovi´𝑐 V. & Radnovi´𝑐 M.. Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials // Regul. Chaotic Dyn. 2019. V. 24, №1. P. 1-35.
26. Adabrah A. K., Dragovi´𝑐 V., Radnovi´𝑐 M. Elliptical Billiards in the Minkowski Plane and Extremal Polynomials // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2019. V. 15, №4. P. 397-407.
27. Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Т. 45, №2. С. 49-77.
28. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Доклады АН СССР. 1986. Т. 287, №5. С. 1071-1075.
29. Фокичева В. В. Топологическая классификация биллиардов в локально плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб., 2015. Т. 206, №10. С. 127-176.
30. Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. Т. 81, №4. С. 20-67.
31. Ведюшкина В. В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. Т. 210, №3 17-74.
32. Кибкало В. А., Фоменко А.Т., Харчева И. С. Реализация интегрируемых гамильтоновых систем бильярдными книжками Труды Моск. матем. общ.. 2021. Т. 82, №1. С. 45-78.
33. Ведюшкина В. В., Фоменко А.Т. Силовые эволюционные биллиарды и биллиардная эквивалентность случая Эйлера и случая Лагранжа // Доклады РАН. 2021. Т. 496. С. 5-9.
34. Фокичева В. В. Топологическая классификация интегрируемых биллиардов // Канд. Диссерт., Москва. МГУ. 2016.
35. Матвеев С. В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии // М., изд-во МГУ, 1991, 303 с.
36. Ведюшкина В. В. Интегрируемые биллиарды на клеточных комплексах и интегрируемые гамильтоновы системы // Докт. Диссерт., Москва. МГУ. 2020.
37. Ведюшкина В. В. Интегрируемые биллиарды реализуют торические слоения на линзовых пространствах и 3-торе // Матем. сб. 2020. Т. 211, №2. С. 46-73.
Рецензия
Для цитирования:
Ведюшкина В.В., Кибкало В.А. Биллиардные книжки малой сложности и реализация слоений Лиувилля интегрируемых систем. Чебышевский сборник. 2022;23(1):53-82. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-53-82
For citation:
Vedyushkina V.V., Kibkalo V.A. Billiard books of low complexity and realization of Liouville foliations of integrable systems. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(1):53-82. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-53-82
Просмотров:
359
Послать статью по эл. почте 