Целочисленные многочлены и теорема Минковского о линейных формах
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-45-52
Аннотация
В статье теорема Минковского о линейных формах [1] применяется к многочленам с целыми коэффициентами
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + . . . + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 (1)
степени 𝑑𝑒𝑔𝑃 = 𝑛 и высоты 𝐻(𝑃) = max06𝑖6𝑛 |𝑎𝑖|. Тогда для любого 𝑥 ∈ [0, 1) и натурального числа 𝑄 > 1 получим неравенство
|𝑃(𝑥)| < 𝑐1(𝑛)𝑄−𝑛, (2)
для некоторого 𝑃(𝑥),𝐻(𝑃) ≤ 𝑄. Неравенство (2) означает, что весь интервал [0, 1) может быть покрыт интервалами 𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 2, . . . во всех точках которых верно неравенство (2).
Дан ответ на вопрос о величине интервалов 𝐼𝑖. Основной результат статьи заключается в доказательстве следующего утверждения.
Для любого 𝑣, 0 ≤ 𝑣 < (𝑛+1)/3 , найдется интервал 𝐽𝑘, 𝑘 = 1, . . . ,𝐾, такой что для всех 𝑥 ∈ 𝐽𝑘 выполняется неравенство (2) и при этом 𝑐2𝑄−𝑛−1+𝑣 < 𝜇𝐽𝑘 < 𝑐3𝑄−𝑛−1+𝑣.
Об авторах
Василий Иванович Берник
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
доктор физико-математических наук, профессор
Ирина Александровна Корлюкова
Гродненский государственный университет
Беларусь
Беларусь
кандидат физико-математических наук, доцент
Гродненский государственный университет
Алексей Сергеевич Кудин
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
кандидат физико-математических наук
Анастасия Владимировна Титова
Институт математики НАН Беларуси
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений // Москва: Изд-во Иностр. Литер. 1961. 213 с.
2. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел // Мн.: Наука и Техника. 1967. 184 с.
3. Кемеш О. Н., Пантелеева Ж.И., Титова А. В. Точные оценки меры малых значений целочисленных полиномов // «Веснiк» Могилевского государственного университета им. А.А. Кулешова. 2021. Т. 57, №1. С. 81–86.
4. Кудин А. С., Пантелеева Ж.И., Титова А. В. Неулучшаемые оценки меры Хаара множеств p-адических чисел с малыми значениями целочисленных полиномов // «Веснiк» Могилевского государственного университета им. А.А. Кулешова. (в печати)
5. Beresnevich V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arithmetica. 1999. Vol. 90, №2. P. 97–112.
6. Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. The distribution of close conjugate algebraic numbers // Compositio Mathematica. 2010. Vol. 146, №5. P. 1165–1179.
7. Beresnevich V., Bernik V., G¨otze F. Integral polynomials with small discriminants and resultants // Advances in Mathematics. 2016. Vol. 298. P. 393–412.
8. Beresnevich, V. Rational points near manifolds and metric Diophantine approximation // Annals of Mathematics. 2012. Vol. 175, №1. P. 187–235.
9. Берник В. И. Применение размерности Хаусдорфа в теории диофантовых приближений. Acta Arithmetica. 1983;42:219–253. Bernik V. I. Application of Hausdorff Dimension in the theory of Diophantine Approximation // Acta Arithmetica. 1983. Vol. 42, №3. P. 219–253.
10. Mahler, K. Uber das Mass der Menge aller 𝑆-Zahlen // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 131–139.
11. Кубилюс Й. П. О применении метода акад. Виноградова к решению одной задачи метрической теории чисел // ДАН СССР. 1949. Т. 67. стр. 783–786.
12. Schmidt WM. Metrische S¨atze ¨uber simultane Approximation abh¨angiger Gr¨oßen // Monatshefte f¨ur Mathematik. 1964. Vol. 68, №2. P. 154–166.
13. Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР. 1965. Т. 29, №2. C. 379–436.
14. Volkmann, B. Ein metrischer Beitrag ¨uber Mahlerschen 𝑆−Zahlen, I // J. reine und angew. Math. 1960. Vol. 203, №3–4. P. 154–156.
15. Baker, A. On a Theorem of Sprindzuk // Proc. R. Soc. Lond. A. 1966. Vol. 292, №1428. P. 92–104.
16. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. // Минск: Наука и техника. 1967. 181 с.
17. Khintchine, A. Einige s¨atze ¨uber kettenbr¨uche, mit anwendungen auf die theorie der Diophantischen approximationen. // Mathematische Annalen. 1924. Vol. 92, №1–2. P. 115–125.
18. Берник В. И. О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов // Acta Arithmetica. 1989–1990. Vol. 53, №1. P. 17–28.
19. Beresnevich V. A Groshev type theorem for convergence on manifolds. // Acta Mathematica Hungarica. 2002. Vol. 94, №1—2. P. 99 –130.
20. Bernik V., Kleinbock D., Margulis G. Khintchine-type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions // International Mathematics Research Notices. 2001. Vol. 9. P. 453– 486.
21. Beresnevich V., Bernik V., Kleinbock D., Margulis G. Metric Diophantine approximation: The Khintchine – Groshev theorem for nondegenerate manifolds. // Moscow Mathematical Journal. 2002. Vol. 2, № 2. P. 203–225.
22. Bernik V, G¨otze F. Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals // Izvestiya: Mathematics. 2015. Vol. 79, № 1. P. 18–39.
Рецензия
Для цитирования:
Берник В.И., Корлюкова И.А., Кудин А.С., Титова А.В. Целочисленные многочлены и теорема Минковского о линейных формах. Чебышевский сборник. 2022;23(1):45-52. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-45-52
For citation:
Bernik V.I., Korlyukova I.A., Kudin A.S., Titova A.V. Integer polynomials and Minkowski’s theorem on linear forms. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(1):45-52. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-45-52
Просмотров:
341
Послать статью по эл. почте 