О геометрии обобщенных почти кватернионных многообразий вертикального типа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-33-44
Аннотация
В работе исследуются обобщенные почти кватернионные многообразия вертикального типа. Приведены примеры этого типа многообразий. Доказано, что на обобщенном почти кватернионном многообразии всегда существует почти 𝛼-кватернионная связность, которая в главном расслоении индуцирует метрическую связность. Получен критерий автодуальности проектируемой вертикальной 2-формы на почти 𝛼-кватернионном многооб-
разии. Получены компоненты структурного эндоморфизма на пространстве 𝐺-структуры. Получен ответ на вопрос: когда эндоморфизм Римана-Кристоффеля сохраняет келеров модуль многообразия. Доказано, эндоморфизм Римана-Кристоффеля эрмитова почти 𝛼- кватернионного многообразия вертикального типа сохраняет келеров модуль многообра-
зия тогда и только тогда, когда структурный пучок этого многообразия является эйнштейновским. Откуда как следствие получаем, что четырёхмерное многообразие с римановой либо нейтральной псевдоримановой метрикой является многообразием Эйнштейна
тогда и только тогда, когда его модуль автодуальных форм инвариантен относительно эндоморфизма Римана-Кристоффеля. Полученное следствие показывает, что предыдущий результат является широким обобщением теоремы Атьи-Хитчина-Сингера, дающей критерий эйнштейновости 4-мерных римановых многообразий в терминах автодуальных форм,
поскольку результат обобщает эту теорему на случай нейтральной псевдоримановой метрики. С другой стороны, этот результат тесно связан с известным результатом Берже, который уточняет её в частном случае кватернионно-келеровых многообразий: если многообразие 𝑀 кватернионно-келерово, то его риманова связность (а не только оператор
Римана-Кристоффеля) сохраняет келеров модуль многообразия. В этом случае 𝑀 является многообразием Эйнштейна.
Об авторе
Ольга Евгеньевна АрсеньеваРоссия
кандидат физико-математических наук, доцент
Список литературы
1. Atiyah M. F., Hitchin N. J., Singer M. Self-duality in four-dimensional Reimannian geometry // Proc. Roy. London. 1978. Vol. 362, No. 1711. P. 425-461.
2. Berger M. Remarques sur le groupe d’holonomie des varietes Riemannienes // C. R. Acad. Sci. Paris. 1996. Vol. 262. P. 316-318.
3. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978. 431 с.
4. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990. Том 2. 703 с.
Рецензия
Для цитирования:
Арсеньева О.Е. О геометрии обобщенных почти кватернионных многообразий вертикального типа. Чебышевский сборник. 2022;23(1):33-44. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-33-44
For citation:
Evgenievna A.O. On the geometry of generalized almost quaternionic manifolds of vertical type. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(1):33-44. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-1-33-44