ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫЕ МАТРИЦЫ И ДИОФАНТОВЫ ЭКСПОНЕНТЫ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2013-14-4-38-79
Аннотация
Данная статья представляет собой обзор результатов о разного рода диофантовых экспонентах. Особое внимание уделяется принципу переноса и обобщению понятия плохо приближаемых чисел на матрицы и решетки.
Ключевые слова
Диофантовы экспоненты,
принцип переноса,
плохо приближаемые матрицы,
многомерные цепные дроби,
полиэдры Клейна,
двойственные решетки
При поддержке: Данное исследование было частично поддержано грантом Президента РФ №MK– 5016.2012.1, грантами РФФИ № 12-01-00681, 12-01-31106, 12-01-33080, а также фондом «Династия»
Список литературы
1. Apfelbeck A. A contribution to Khintchine’s principle of transfer // Czech. Math. J. 1951. Vol. 1, № 3. P. 119–147.
2. Arnold V. I. Higher dimensional continued fractions // Regular and Chaotic Dynamics. 1998. Vol. 3, № 3.
3. Arnold V. I. Preface // Amer. Math. Soc. Transl. 1999. Vol. 197, № 2. P. ix–xii.
4. Arnold V. I. Continued fractions. Moscow: Moscow Center of Continuous Mathematical Education, 2002.
5. Ball K. Volumes of sections of cubes and related problems // Geometric aspects of functional analysis (1987–88). Lect. Notes in Math. 1989. Vol. 1376. P. 251– 260.
6. Bonnesen T., FenchelW. Theorie der konvexen K¨orper. Berlin: Springer, 1934.
7. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1964. 566 с.
8. Bugeaud Y., Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine approximations II // Math. Z. 2010. Vol. 265, № 2. P. 249–262.
9. Cassels J.W. S. An introduction to Diophantine approximation. Cambridge University Press, 1957.
10. Cassels J.W. S., Swinnerton-Dyer H. P. F. On the product of three homogeneous linear forms and indefinite ternary quadratic forms // Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A. 1955. Vol. 248. P. 73–96.
11. Dyson F. J. On simultaneous Diophantine approximations // Proc. London Math. Soc. 1947. Vol. 49, № 2. P. 409–420.
12. Ewald G. Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, 1996. 13. Герман О. Н. Паруса и норменные минимумы решеток // Мат. Сборник. 2005. Т. 196, №3. С. 31–60.
13. Герман О. Н. Полиэдры Клейна и норменные минимумы решеток // Доклады РАН. Математика. 2006. Т. 406, №3. С. 38–41.
14. German O. N. Klein polyhedra and lattices with positive norm minima // Jourbal de Th´eorie des Nombres de Bordeaux. 2007. Vol. 19. P. 157–190.
15. Герман О. Н., Лакштанов Е. Л. О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей // Известия РАН. Сер. Мат. 2008. Т. 72, №1. С. 51–66.
16. German O. N. Transference inequalities for multiplicative Diophantine exponents // Труды МИРАН. 2011. Т. 275. С. 216–228.
17. German O. N. On Diophantine exponents and Khintchine’s transference principle // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2012. Vol. 2, № 2. P. 22–51.
18. German O. N. Intermediate Diophantine exponents and parametric geometry of numbers // Acta Arithmetica. 2012. Vol. 154. P. 79–101.
19. Gr¨unbaum B. Convex polytopes. London; New York; Sydney: Interscience Publ., 1967.
20. Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine // Prace Mat. Fiz. 1936. Vol. 43. ¨ P. 151–166.
21. Jarn´ık V. Uber einen Satz von A. Khintchine, 2 // Acta Arithm. 1936. Vol. 2. ¨ P. 1–22.
22. Jarn´ık V. Zum Khintchineschen “Ubertragungssatz” // Trav. Inst. Math. ¨ Tbilissi. 1938. Vol. 3. P. 193–212.
23. Khintchine A. Ya. Uber eine Klasse linearer Diophantischer Approximationen. ¨ Rend. Sirc. Mat. Palermo. 50 (1926). P. 170–195.
24. Khintchine A. Ya. On some applications of the method of the additional variable // UMN. 1948. Vol. 3, № 6(28). P. 188–200.
25. Klein F. Uber eine geometrische Auffassung der gewohnlichen Kettenbruchentwichlung // Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. 1895. Vol. 3. P. 357–359.
26. Korkina E. La p´eriodecit´e des fractions continues multidimensionnelles // C. R. Acad. Sci. Paris. S´erie I. 1994. Vol. 319. P. 777–780.
27. Korkina E. I. Two-dimensional continued fractions. The simplest examples // Proc. Steklov Math. Inst. RAS. 1995. Vol. 209. P. 143–166.
28. Lachaud G. Poly`edre d’Arnol’d et voile d’un cˆone simplicial: analogues du th´eor`eme de Lagrange // C. R. Acad. Sci. Paris. 1993. S´erie I. Vol. 317. P. 711–716.
29. Lachaud G. Sails and Klein Polyhedra // Contemporary Mathematics. 1998. Vol. 210. P. 373–385.
30. Lachaud G. Voiles et Poly`edres de Klein. Act. Sci. Ind. Hermann, 2002.
31. Laurent M. On transfer inequalities in Diophantine Approximation // “Analytic Number Theory, Essays in Honour of Klaus Roth” / eds. W.W. L. Chen, W. T. Gowers, H. Halberstam, W. M. Schmidt and R. C. Vaughan. Cambridge University Press, 2009. P. 306–314.
32. Laurent M. Exponents of Diophantine approximation in dimension two // Canad. J. Math. 2009. Vol. 61. P. 165–189.
33. McMullen P., Shephard G. C. Convex polytopes and the upper bound conjecture. Cambridge (GB): Cambridge University Press, 1971.
34. Mahler K. Ein Ubertragungsprinzip f¨ur lineare Ungleichungen // ¨ Cas. Peˇst. Mat. ˇ Fys. 1939. Vol. 68. P. 85–92.
35. Mahler K. On a theorem of Dyson // Mat. sbornik. 1950. Vol. 26(68), № 3. P. 457–462.
36. Mahler K. On compound convex bodies (I). // Proc. London Math. Soc. 1955. Vol. 5, № 3. P. 358–379.
37. Moshchevitin N. G. Khintchine’s singular systems and their applications // UMN (to appear). Preprint available at arXiv:0912.4503v1, 2009.
38. Moussafir J.-O. Convex hulls of integral points // Zapiski nauch. sem. POMI. 2000. Vol. 256.
39. SchmidtW. M. On heights of algebraic subspaces and diophantine approximations // Annals of Math. 1967. Vol. 85, № 3. P. 430–472.
40. SchmidtW. M. Diophantine Approximation. Lecture Notes in Math. Vol. 785. Springer-Verlag, 1980.
41. SchmidtW. M., Summerer L. Parametric geometry of numbers and applications // Acta Arithmetica. 2009. Vol. 140, № 1. P. 67–91.
42. SchmidtW. M., Summerer L. Diophantine approximation and parametric geometry of numbers // Monat. Math. 2012. DOI: 10.1007/s00605-012-0391-z.
43. SchmidtW. M., Wang Y. A note on a transference theorem of linear forms // Sci. Sinica. 1979. Vol. 22, № 3. P. 276–280.
44. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 168. 1988.
45. Скубенко Б. Ф. Минимумы разложимых форм степени n от n переменных при n > 3 // Зап. науч. семинара ЛОМИ. Т. 183. 1990.
46. Tsuchinashi H. Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities // Tohoku Math. Journal. 1983. Vol. 35. P. 607–639.
47. Vaaler J. D. A geometric inequality with applications to linear forms // Pacif. J. Math. 1979. Vol. 83, №2. P. 543–553.
48. Waldschmidt M. Report on some recent advances in Diophantine approximation. Special volume in honor of Serge Lang. Springer Verlag, (to appear). Preprint available at arXiv:0908.3973v1. 2009.
49. Wang Y., Yu K. A note on some metrical theorems in Diophantine approximation // Chinese Ann. Math. 1981. Vol. 2. P. 1–12.
Рецензия
Для цитирования:
Герман О.Н. ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫЕ МАТРИЦЫ И ДИОФАНТОВЫ ЭКСПОНЕНТЫ. Чебышевский сборник. 2013;14(4):38-79. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2013-14-4-38-79
For citation:
German O.N. BADLY APPROXIMABLE MATRICES AND DIOPHANTINE EXPONENTS. Chebyshevskii Sbornik. 2013;14(4):38-79. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2013-14-4-38-79
Просмотров:
447
Послать статью по эл. почте 