О числе примитивных неассоциированных матриц третьего порядка заданного определителя

При изучении вопросов асимптотического распределения целых точек по областям на гиперболоидах, а также целочисленных матриц второго и третьего порядков возникает необходимость использования примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков заданного определителя. Подсчет количества целых матриц одного и того же порядка и заданного определителя требует выделения среди них попарно неассоциированных матриц. Неассоциированные матрицы второго порядка появляются при рассмотрении предварительных эргодических теорем для потоков целых точек на гиперболоидах при применении дискретного эргодического метода к вопросу представления целых чисел тернарными квадратичными формами. Через количество неассоциированных матриц второго порядка выражается также число бинарных квадратичных форм, арифметический минимум которых делится на заданное целое число. Кроме того, формулы для числа примитивных неассоциированных матриц второго и третьего порядков позволяют определить порядки главных членов в асимптотических формулах для числа целых матриц боль-
шой нормы. В данной работе опираясь на канонический треугольный вид целых матриц третьего порядка получена формула для числа примитивных неассоциированных матриц
третьего порядка заданного определителя, представленного каноническим разложением.
Получена также формула и для числа примитивных неассоциированных матриц третьего порядка заданного определителя, делящихся на заданную матрицу. Основные результаты, связанные с вопросом о числе неассоциированных целых матриц заданного определителя
принадлежат Линнику Ю. В., Скубенко Б. Ф., Малышеву А. В. и авторам данной работы, результаты которой могут быть в дальнейшем перенесены на целочисленные матрицы
любого порядка.

1. Линник Ю.В. Эргодические свойства алгебраических полей. // Л.: Издательство Ленинградского университета. 1967. 210 c.

2. Малышев А. В., Пачев У. М. Об арифметике матриц второго порядка // Исследования по теории чисел. 6, Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 93, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л. 1980. C. 41-86, DOI: 10.1007/BF01085126

3. Пачев У. М. О распределении целых точек на некоторых двуполостных гиперболоидах // Исследования по теории чисел. 6, Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 93, Изд-во «Наука»,

4. Ленинград. отд., Л. 1980. С. 87–141, DOI: 0.1007/BF01085127

5. Пачев У. М. О числе приведенных целочисленных неопределенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Чебышевский сб. 2003. Т. 4, № 3. С. 92–105.

6. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. Т. 70, № 3. С.167–184, DOI: 10.4213/im676

7. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 2.

8. C. 376–388, DOI: 10.1007/s11202-007-0031-3

9. Пачев У. М. О числе примитивных неассоциированных матриц второго порядка определителя n, делящихся на заданную матрицу // Владикавк. матем. журн. 2015. Т. 17, № 2. С. 62–67.

10. Пачев У. М. Об арифметике кольца целых матриц 𝑛-го порядка // Владикавказский математический журнал 2008. Т. 10, № 1. C. 75 78.

11. Пачев У. М., Дохов Р. А. О примитивных неассоциированных матрицах третьего поряд-

12. ка заданного определителя // Материалы XVII Международной конференции "Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории посвященной 100-летию со для рождения профессора Н.И. Фельдмана и 90-летию

13. со дня рождения профессоров А.И. Виноградова, А.В. Малышева и Б.Ф. Скубенко. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2019. C. 121–123.

14. Линник Ю.В., Скубенко Б. Ф. К асимптотике целочисленных матриц третьего порядка // Докл. АН СССР. 1962. Т. 146, № 5. С. 1007–1008.

15. Линник Ю.В., Скубенко Б. Ф. Асимптотическое распределение целочисленных матриц третьего порядка // Вестн. ЛГУ: Сер. Матем. Мех. Астрон. 1964. № 13. С. 26–36.

16. Пачев У. М., Шакова Т.А. О единицах кватернионного порядка неопределённой анизотропной тернарной квадратичной формы, Чебышевский сб. 2019. Т. 20, № 4. С. 270–280,

17. DOI: 10.22405/2226-8383-2018-20-4-270-280

18. Newman M. Integral matrices. Academic Press, New York, 1972, 244 p.

19. Венков Б.А. Об интегральном инварианте группы унимодулярных линейных подстановок // Учен. зап. Ленинг. ун-та. 1952. Т. 144, № 23. С. 3–25.

20. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. 180 с.

21. Сидоров С. В. О классах подобия матриц второго порядка с нулевым следом над кольцом целых чисел // Изв. вузов. Матем. 2016. № 4. С. 79–86, DOI: 10.3103/S1066369X16040101

22. Сидоров С. В. О подобии матриц третьего порядка над кольцом целых чисел, имеющих приводимый характеристический многочлен // Вестн. ННГУ.: Сер. матем. моделир. и оптимального управления. 2009. № 1, С. 119–127.