О существовании 𝑅𝑅-многогранников, связанных с икосаэдром
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-253-264
Аннотация
Работа относится к тому направлению в теории многогранников в 𝐸3, в котором изучаются классы выпуклых многогранников, расширяющих класс правильных (платоновых): многогранники таких классов сохраняют лишь некоторые свойства правильных многогранников.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников, объединённых такими условиями симметрии на элементы многогранника, при которых условия правильности
граней не предполагались заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Далее автором был рассмотрен класс так называемых 𝑅𝑅-многогранников.
𝑅𝑅-многогранником (от слов rombic и regular) называется выпуклый многогранник, у которого существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём все грани, не входящие в звезду ромбической вершины, являются правильными многоугольниками.
Если гранная звезда 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) вершины 𝑉 многогранника состоит из 𝑛 равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной 𝑉 , то 𝑉 называется
ромбической. Если вершина 𝑉 принадлежит оси вращения порядка 𝑛 звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), то 𝑉 называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина 𝑉 называется тупоугольной, если ромбы звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) в вершине 𝑉 сходятся своими тупыми углами.
Примером RR-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
Ранее автором были найдены все 𝑅𝑅-многогранники с двумя симметричными ромбическими вершинами.
В настоящей работе рассматривается вопрос о существовании замкнутых выпуклых 𝑅𝑅-многогранников в 𝐸3 с одной симметричной тупоугольной ромбической вершиной и правильными гранями одного типа. Доказывается теорема о том, что существует только два таких многогранника: 13-гранник и 19-гранник. Оба этих многогранника получены из
правильного: икосаэдра. Доказательство существования 19-гранника основано, в частности, на теореме А.Д.Александрова о существовании выпуклого многогранника с данной развёрткой.
Ключевые слова
Об авторе
Владимир Иванович — Субботин
Донской государственный аграрный университет
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук, доцент
Список литературы
1. Grunbaum B. Regular polyhedra — old and new.// Aequationes mathematicae. 1977. Vol. 16, №1-2. P.1-20.
2. Coxeter H. S. Regular and semi-regular polytopes. II, // Mathematische Zeitschrift. 1985. Vol. 188, №4. P.559–591.
3. Coxeter H. S. Regular and Semi-Regular Polytopes. III. // Mathematische Zeitschrift, 1988/89. Vol. 200. P.3-46.
4. Coxeter H. S. Regular polytopes. London-NY. 1963.
5. Деза М., Гришухин В. П., Штогрин М. И. Изометрические полиэдральные подграфы в гиперкубах и кубических решетках. М.: МЦНМО, 2007.
6. Емеличев В. А., Ковалёв М. М., Кравцов М. К. Многогранники. Графы. Оптимизация. М.: Наука, 1981.
7. Cromwell P. R. Polyhedra. Cambridge: Cambridge University Press. 1999.
8. Makarov P. V. On the derivation of four-dimensional semi-regular polytopes// Voprosy Diskret. Geom. Mat. Issled. Akad. Nauk. Mold.1988. Vol. 103. P.139–150.
9. Макаров В. С. Правильные многогранники и многогранники с правильными гранями трехмерного пространства Лобачевского // Материалы X Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения".М.: МГУ. 2010. С.58-66.
10. Смирнов Е.Ю. Группы отражений и правильные многогранники. М.: МЦНМО, 2009.
11. Farris S. L. Completely classifying all vertex-transitive and edge-transitive polyhedra.// Geometriae Dedicata. 1988. Vol. 26, №1. P.111-124.
12. Wills J. M. On polyhedra with transitivity properties // Discrete and Computational Geometry. 1986. Vol. 1, №3. P.195-199.
13. Berman M. Regular-faced Convex Polyhedra, // Journal of The Franklin Institute. 1971. Vol. 291, №5. P.329-352.
14. McMullen P. Geometric Regular Polytopes. Cambridge University Press. 2020.
15. Schulte E., Wills J. M. On Coxeter’s regular skew polyhedra // Discrete Mathematics. 1986. Vol. 60. P. 253-262.
16. McMullen P., Schulte E. Higher Toroidal Regular Polytopes // Advances in Mathematics. 1996. Vol. 117, №1. P. 17-51.
17. Cunningham E., Pellicer D. Classification of tight regular polyhedra // Journal of Algebraic Combinatorics. 2016. Vol. 43. P. 665–691.
18. Johnson N. W. Convex polyhedra with regular faces // Can. J. Math. 1966. Vol. 18, №1. P. 169—200.
19. Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями //Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1967. Т.2. С.1-220.
20. Милка А. Д. Почти правильные многогранники. //Труды Ин-та мат. СО АН СССР. 1987. Т.9. С.136-141.
21. Blind, G.; Blind, R. The semiregular polytopes // Commentarii Mathematici Helvetici. 1991. v.66, №1. P.150–154.
22. Субботин В. И. Об одном классе сильно симметричных многогранников // Чебышевский сборник. 2016. №4. С. 132-140.
23. Субботин В. И. Some classes of polyhedra with rhombic and deltoidal vertices //Труды Международной конференции «Topology, Geometry, and Dynamics: Rokhlin – 100». Санкт-
24. Петербург. 2019. С.86.
25. Субботин В. И. О двух классах многогранников с ромбическими вершинами // Зап. научн. семин. ПОМИ. – 2018. – Т. 476.. – C. 153–164.
26. Субботин В. И. Об одном классе многогранников с симметричными звездами вершин //Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2019. Т.169. С. 86-95.
27. Субботин В. И. О полноте списка выпуклых 𝑅𝑅-многогранников //Чебышевский сборник. 2020. Т.21, №1. С. 297-309.
28. Субботин В. И. 𝑅𝑅-многогранники: существование, полнота списка// Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVIII Международной конференции, посвященной столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина. Тула, 23–26 сентября 2020 года. С.271-272.
29. Александров А. Д. Выпуклые многогранники. Новосибирск: Наука, 2007.
Рецензия
Для цитирования:
Субботин В.И. О существовании 𝑅𝑅-многогранников, связанных с икосаэдром. Чебышевский сборник. 2021;22(4):253-264. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-253-264
For citation:
Subbotin V.I. On the existence of 𝑅𝑅-polyhedra associated with the icosahedron. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(4):253-264. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-4-253-264
Просмотров:
259
Послать статью по эл. почте 