Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О глобальной разрешимости уравнения Кана — Хилларда

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473

Полный текст:

Аннотация

В статье исследуется глобальная по времени разрешимость решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа,
не разрешенного относительно временной производной первого порядка, так называемого уравнения Кана-Хилларда, в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций на всей числовой оси, для которых существуют пределы на минус и плюс бесконечности. Доказано существование классического решения (под которым понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные производные нужного порядка и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области задания рассматриваемой задачи Коши) на произвольном временном интервале. Получены априорные оценки, обеспечивающие существование глобального решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения
Кана-Хилларда, так как классическое решение 𝑣 (𝑥, 𝑡) с отрезка [0, 𝑡*], принимая 𝑣 (𝑥, 𝑡*) за новую начальную функцию, продолжается до классического решения 𝑣 (𝑥, 𝑡) на отрезке [0, 𝑡* + 𝛿] , где величина 𝛿 зависит только от нормы начальной функции и параметров уравнения Кана-Хилларда. Повторяя этот процесс достаточно большое число раз получим классическое решение рассматриваемой задачи Коши на произвольном временном интервале.

Об авторе

Хеди Сумановна Тарамова
Чеченский государственный педагогический университет
Россия

кандидат физико-математических наук, 



Список литературы

1. Cahn, J.W. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy / J.W. Cahn,

2. J.E. Hilliard // J. Chemical Physics. – 1958. – 28, – № 1. – P. 258–267.

3. Elliot, Ch. On the Chan–Hilliard equation / Ch. Elliot, S. Zheng // Arch. Rat. Mech. Anal. –

4. – 96, – № 4. – P. 339–357.

5. Bai, F. The viscous Cahn-Hilliard equation I. Computations / F. Bai, C.M. Elliott, A. Gardiner,

6. A. Spence, A.M. Stuart // Nonlinearity. – 1995. – № 8. – P. 131–160.

7. Elliott, C. M. Viscous Cahn-Hilliard Equation II. Analysis / C.M. Elliott, A.M. Stuart //

8. Journal of differential equations. – 1996. – № 128. – P. 387–414.

9. Gal, C. Well-Posedness and Long Time Behavior of the Non-Isothermal Viscous Cahn-Hilliard

10. Equation with Dynamic Boundary Conditions / Gal C. // Dynamics of PDE. – 2008. – Vol. 5,

11. – № 1. – P. 39–67.

12. Плотников, П.И. Предельный переход по малому параметру в уравнениях Кана–Хилларда

13. / П.И. Плотников // Сиб. матем. журн. – 1997. – № 38:3. – C. 638–656.

14. Радкевич, Е.В. Асимптотическое решение расширенной модели Кана–Хилларда / Е.В.

15. Радкевич, М.В. Захарченко // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Том

16. – С. 121–138.

17. Радкевич, Е.В. Корректность математических моделей механики сплошных сред и термо-

18. динамика / Е.В. Радкевич // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Том 3.

19. – С. 3–145.

20. Меньшов, И.С. Метод сквозного расчета межфазных границ в двухфазных течениях на

21. основе уравнения Кана–Хилларда / И.С. Меньшов, Ч.Чжан // Журнал вычислительной

22. математики и математической физики. – 2020. – T. 60, – № 3. – C. 476–488.

23. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производ-

24. ной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. – Новосибирск: Науч. кн., 1998. – 436 с.

25. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников,

26. А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 736 с.

27. Умаров, Х.Г. О разрешимости одномерного уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в про-

28. странстве непрерывных ограниченных функций на всей оси / Х.Г. Умаров // Научные

29. ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. – 2012. – №17 . Вып. 28. – С. 91–101.

30. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. – М.: ИЛ,

31. – 895 с.

32. Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B.

33. Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Trans. R. Soc. London. – 1972. – V. 272. –

34. P. 47–78.

35. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.:

36. МГУ, 1998. – 480 с.


Рецензия

Для цитирования:


Тарамова Х.С. О глобальной разрешимости уравнения Кана — Хилларда. Чебышевский сборник. 2021;22(3):467-473. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473

For citation:


Taramova K.S. On the global solvability of the Kana–Hillard equation. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):467-473. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473

Просмотров: 167


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)