О глобальной разрешимости уравнения Кана — Хилларда
Аннотация
В статье исследуется глобальная по времени разрешимость решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа,
не разрешенного относительно временной производной первого порядка, так называемого уравнения Кана-Хилларда, в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций на всей числовой оси, для которых существуют пределы на минус и плюс бесконечности. Доказано существование классического решения (под которым понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные производные нужного порядка и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области задания рассматриваемой задачи Коши) на произвольном временном интервале. Получены априорные оценки, обеспечивающие существование глобального решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения
Кана-Хилларда, так как классическое решение 𝑣 (𝑥, 𝑡) с отрезка [0, 𝑡*], принимая 𝑣 (𝑥, 𝑡*) за новую начальную функцию, продолжается до классического решения 𝑣 (𝑥, 𝑡) на отрезке [0, 𝑡* + 𝛿] , где величина 𝛿 зависит только от нормы начальной функции и параметров уравнения Кана-Хилларда. Повторяя этот процесс достаточно большое число раз получим классическое решение рассматриваемой задачи Коши на произвольном временном интервале.
Об авторе
Хеди Сумановна Тарамова
Чеченский государственный педагогический университет
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук,
Список литературы
1. Cahn, J.W. Free energy of a non-uniform system, Part I: Interfacial free energy / J.W. Cahn,
2. J.E. Hilliard // J. Chemical Physics. – 1958. – 28, – № 1. – P. 258–267.
3. Elliot, Ch. On the Chan–Hilliard equation / Ch. Elliot, S. Zheng // Arch. Rat. Mech. Anal. –
4. – 96, – № 4. – P. 339–357.
5. Bai, F. The viscous Cahn-Hilliard equation I. Computations / F. Bai, C.M. Elliott, A. Gardiner,
6. A. Spence, A.M. Stuart // Nonlinearity. – 1995. – № 8. – P. 131–160.
7. Elliott, C. M. Viscous Cahn-Hilliard Equation II. Analysis / C.M. Elliott, A.M. Stuart //
8. Journal of differential equations. – 1996. – № 128. – P. 387–414.
9. Gal, C. Well-Posedness and Long Time Behavior of the Non-Isothermal Viscous Cahn-Hilliard
10. Equation with Dynamic Boundary Conditions / Gal C. // Dynamics of PDE. – 2008. – Vol. 5,
11. – № 1. – P. 39–67.
12. Плотников, П.И. Предельный переход по малому параметру в уравнениях Кана–Хилларда
13. / П.И. Плотников // Сиб. матем. журн. – 1997. – № 38:3. – C. 638–656.
14. Радкевич, Е.В. Асимптотическое решение расширенной модели Кана–Хилларда / Е.В.
15. Радкевич, М.В. Захарченко // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Том
16. – С. 121–138.
17. Радкевич, Е.В. Корректность математических моделей механики сплошных сред и термо-
18. динамика / Е.В. Радкевич // Современная математика и ее приложения. – 2003. – Том 3.
19. – С. 3–145.
20. Меньшов, И.С. Метод сквозного расчета межфазных границ в двухфазных течениях на
21. основе уравнения Кана–Хилларда / И.С. Меньшов, Ч.Чжан // Журнал вычислительной
22. математики и математической физики. – 2020. – T. 60, – № 3. – C. 476–488.
23. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производ-
24. ной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. – Новосибирск: Науч. кн., 1998. – 436 с.
25. Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников,
26. А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 736 с.
27. Умаров, Х.Г. О разрешимости одномерного уравнения Кана-Хилларда с вязкостью в про-
28. странстве непрерывных ограниченных функций на всей оси / Х.Г. Умаров // Научные
29. ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. – 2012. – №17 . Вып. 28. – С. 91–101.
30. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. – М.: ИЛ,
31. – 895 с.
32. Benjamin, T.B. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.B.
33. Benjamin, J.L. Bona, J.J. Mahony // Philos. Trans. R. Soc. London. – 1972. – V. 272. –
34. P. 47–78.
35. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.:
36. МГУ, 1998. – 480 с.
Рецензия
Для цитирования:
Тарамова Х.С. О глобальной разрешимости уравнения Кана — Хилларда. Чебышевский сборник. 2021;22(3):467-473. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473
For citation:
Taramova K.S. On the global solvability of the Kana–Hillard equation. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):467-473. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-467-473
Просмотров: 151
Послать статью по эл. почте 