От алгебраических методов Диофанта — Ферма — Эйлера к арифметике алгебраических кривых: из истории диофантовых уравнений после Эйлера
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-383-404
Аннотация
Если говорить об истории той части диофантова анализа, в которой рассматривается решение диофантовых уравнений в рациональных числах, то прежде всего нужно отметить устойчивость алгебраического подхода к этой проблеме, восходящего к «Арифметике» Диофанта Александрийского. Действительно, после знакомства европейских мате-
матиков во второй половине XVI века с произведением Диофанта основным средством нахождения рациональных решений диофантовых уравнений становится алгебраический
аппарат замен, подстановок и преобразований. Несмотря на ограниченность этих средств, математикам удалось на данном этапе получить важные результаты о решении в рациональных числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 2-й, 3-й и 4-й степеней.
Детальный историко-математический анализ этих результатов дан, в частности, в исследованиях И. Г. Башмаковой и её учеников. В статье рассматривается, как в течение XIX века происходил отход от узко алгебраической трактовки диофантовых уравнений, характерной для большинства работ вплоть до конца XIX века, к более общему взгляду на предмет исследования и принципиальному расширению самих средств исследования
диофантовых уравнений. Рассматриваются шаги в этом направлении, сделанные такими математиками, как О. Л. Коши, К. Г. Я. Якоби, Э. Люка. Особое внимание уделяется творчеству Дж. Дж. Сильвестра в области диофантовых уравнений и статье У. Стори «On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve», долгое время не попадавшим в поле зрения историков математики.
Об авторах
Татьяна Алексеевна Лавриненко
Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Алексей Александрович Беляев
Российский университет дружбы народов
Россия
Россия
кандидат физико-математических наук
Список литературы
1. Poincar´e H. Sur les propri´et´es arithm´etiques des courbes alg´ebriques // J. Math. Pures Appl. 1901. Ser. 5. Vol. 7. P. 161–233. (Русский перевод: Пуанкаре А. Об арифметических свойствах алгебраических кривых // Избранные труды. Т.2. М., 1972. С. 901–960.)
2. Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. М.: Наука, 1984 (переизд.: М.: ЛЕНАНД, 2015).
3. Hofmann J. E. ¨Uber zahlentheoretische Methoden Fermats und Eulers, ihre Zusammenh¨ange und ihre Bedeutung // Arch. Hist. Exact Sci. 1961. Vol.1, №2. P. 122–159.
4. Weil A. Number Theory. An Approach through History: from Hammurapi to Legendre. Boston, etc.: Birkh¨auser, 1983 (reprint. Boston: Birkh¨auser, 2007).
5. Лавриненко Т. А. Неопределенные ураввнения в работах Л. Эйлера и математиков XIX века. : дис. канд. физ. -мат. наук: 07.00.10. М., 1984. 166 с.
6. Лавриненко Т. А. Диофантовы уравнения в работах Л. Эйлера // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. Сборник статей. М.: Наука, 1988. С. 153–165.
7. Euler L. Vollst¨andige Anleitung zur Algebra. Petersbourg, 1770 (reprint. Stuttgart, 1959). (Также в: Leonhardi Euleri Opera omnia, ser. 1. V. 1. P. 209–498. Lipsiae et Berolini, 1911.).
8. Euler L. Opera postuma mathematica et physica. Petropoli, 1862. V. 1.
9. Лавриненко Т. А. Реконструкции методов получения четырёх формул из неопубликованных рукописей Эйлера по диофантову анализу // История и методология естественных
10. наук. Вып. XXXII. Математика, механика. М.: Изд-во Московского университета,1986. С. 111–120.
11. Лавриненко Т. А. Решение неопределенных уравнений 3-й и 4-й степеней в поздних работах Эйлера // Историко-математические исследования. Вып.27. М., 1983. С. 67–79.
12. Lagrange J. L. Sur quelques probl`emes de l’analyse de Diophante // Nouveaux M´emoires de l’Ac. royale des sc. et belle-lettre de Berlin, 1777. (Такжке в: Lagrange J. L. Oeuvres. Paris,1869. T. 4. P. 377–398.).
13. Лавриненко Т. А. Методы решения неопределенных уравнений в рациональных числах в XVIII–XIX веках // Историко-математические исследования. Вып.28. М., 1985. С. 202–223. 13. Cauchy A. Sur la resolution de quelques ´equations ind´etermin´ees en nombres entiers // Cauchy
14. A. Exercices de math´ematiques. Paris, 1826. (Также в: Cauchy A. Ouevres compl`etes (II). Paris, 1887. T.6. P. 286–315.).
15. Jacobi C. De Usu Theoriae Integralium Ellipticorum et Integralium Abelianorum in Analysi Diophantea // Crelle Journal f¨ur die Reine und Angewandte Mathematik. 1835. V. 13. P. 353–
16. (Также в: Jacobi C. Gesammelte Werke. Berlin, 1882. Bd. 2. S. 53–55.).
17. Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых (от Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. 1975. Вып. 20. С. 104–124 (на англ. языке: Bashmakova I. G. Arithmetic of algebraic curves from Diophantus to Poincar´e // Historia Mathematica. 1981. V. 8, №4. P. 393–416.).
18. Newton I. Mathematical Papers. Vol.4 / Ed. D.T.Whiteside. Cambridge, 1971. 17. Sylvester J. J. An Account of a Discovery in the Theory of Numbers Relative to the Equation
19. 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧 // Philosophical Magazine. 31(1847). P. 189–191. (Также в: Sylvester J. J. Collected Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 107–109.).
20. Sylvester J. J. On the Equation in Numbers 𝐴𝑥3 + 𝐵𝑦3 + 𝐶𝑧3 = 𝐷𝑥𝑦𝑧, and Its Associate System of Equations // Phil. Mag. 31(1847). P. 293–296. (Также в: Sylvester J. J. Collected
21. Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 110–113.).
22. Sylvester J. J. On the General Solution (in Certain Cases) of the Equation 𝑥3 + 𝑦3 + 𝐴𝑧3 = 𝑀𝑥𝑦𝑧 & c. // Phil. Mag. 31(1847). P. 467–471. (Также в: Sylvester J. J. Collected
23. Mathematical Papers. V.1. Cambridge Univ. Press. P. 114–118.).
24. Sylvester J. J. Recherches sur les solutions en nombres entiers positifs ou n´egatifs de l’´equation cubique homog`ene `a trois variables // Annali di scienze matematiche e fisiche. 7 (1856). P. 398– 400. (Также в: Sylvester J. J. Collected Mathematical Papers. V.2. Cambridge Univ. Press.
25. P. 63–64.).
26. Sylvester J. J. Note on the Algebraical Theory of Derivative Points of Curves of the Third
27. Degree // Phil. Mag. 16(1858). P. 116–119. (Также в: Sylvester J. J. Collected Mathematical
28. Papers. V.2. Cambridge Univ. Press. P. 107–109.).
29. Parshall K. James Joseph Sylvester: Life and Work in Letters. Oxford: Oxford University Press,
30.
31. Sylvester J. J. On Certain Ternary Cubic-Form Equations // Amer. J. Math. 2 (1879), p. 280–
32. and p. 357–393; 3 (1880), p. 58–88 and p. 179–189. (Также в: Sylvester J. J. Collected
33. Mathematical Papers. V.3. Cambridge Univ. Press. P. 312–391.).
34. Lucas ´E. Sur l’Analyse ind´etermin´ee du troisi`eme degr´e et sur la question 802 (Sylvester) //
35. Nouv. ann. math.. 2e s´erie, 17. 1878. P. 507–514.
36. Lavrinenko T. A. Solving an Indeterminate Third Degree Equation in Rational Numbers. Sylvester and Lucas // Revue d’Histoire des Math´ematiques (Soci´et´e Math´ematique de France). 2002. T.8, №1. P. 67–111.
37. Лавриненко Т. А., Михно Г. А. О введении групповой структуры на множестве точек кубики и решении диофантовых уравнений // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2014. №4. С. 95–104.
38. Parshall K., Rowe D. The Emergence of the American Mathematical Research Community 1876-1900: J. J. Sylvester, Felix Klein, and E. H. Moore. // Providence: American Mathematical Society, 1994.
39. Cooke R., Rickey F. W. E. Story of Hopkins and Clark // A Century of Mathematics in America. Part III / ed. Peter Duren. Providence: American Mathematical Society, 1989. P. 29–76.
40. Story W. E. On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve // Amer. J. Math. (3) 1880. P. 356–387.
41. Clebsch A. ¨Uber einen Satz von Steiner und einige Punkte der Theorie der Curven dritter Ordnung // Crelle J. f¨ur die r. und ang. Math.. 63(1864).
42. Hilbert D., Hurwitz A. ¨Uber die diophantischen Gleichungen vom Geschlecht Null // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 217-224.
43. Noether M. Rationale Ausf¨uhrung der Operationen in der Theorie der algebraischen Funktionen // Math. Annalen. 23(1884). S. 311–358.
44. Dickson L. E. History of the Theory of Numbers. V.2: Diophantine Analysis. Washington, 1920 (reprint. Bronx (Chelsea), 1971).
Рецензия
Для цитирования:
Лавриненко Т.А., Беляев А.А. От алгебраических методов Диофанта — Ферма — Эйлера к арифметике алгебраических кривых: из истории диофантовых уравнений после Эйлера. Чебышевский сборник. 2021;22(3):383-404. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-383-404
For citation:
Lavrinenko T.A., Belyaev A.A. From the algebraic methods of Diophantus–Fermats–Euler to the arithmetic of algebraic curves: about the history of diophantine equations after Euler. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):383-404. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-383-404
Просмотров:
363
Послать статью по эл. почте 