Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-311-344

Полный текст:

Аннотация

В работе рассмотрены предпосылки и зарождение теории нелинейных интегральных уравнений. Появление этой теории явилось закономерным следствием развития всей ма-
тематики XVIII-XIX вв. Вместе с тем сильное мотивирующее воздействие оказало возрастание интереса к нелинейным задачам в конце XIX – начале XX в. Непосредственное
исследование конкретных нелинейных интегральных уравнений было вызвано актуальной прикладной задачей о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, которая, начиная с Ньютона, привлекала внимание значительного числа крупнейших математиков. В первые десятилетия развития теории нелинейных интегральных уравнений культивировались традиционные подходы, использовавшиеся для исследования дифференциальных и алгебраических уравнений, по схеме уравнение-решение. То есть на первом плане находилось вычисление и оценка его точности. Сложность и своеобразие нелинейных задач сразу выявили актуальность вопросов существования и единственности их решений, что сделало
необходимым привлечение других, только создающихся областей математики. Теория интегральных уравнений вообще явилась одним из истоков функционального анализа. Кроме того, обе теории тесно переплетались и в своей эволюции взаимно стимулировали друг друга. В полной мере это относится и к нелинейным интегральным уравнениям, для которых первостепенное значение приобрели качественные методы. На рассматриваемом в настоящей работе этапе имело место параллельное развитие и cмешение традиционных методов исследования уравнений и новых подходов качественного характера. На следующем этапе
новые подходы вышли на первый план, объединившись с функциональным анализом и топологией.

Об авторах

Егор Михайлович Богатов
Филиал Национального исследовательского технологического университета «МИСИС» в г. Губкине Белгородской области; Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова
Россия

кандидат физико-математических наук



Равиль Рафкатович Мухин
Старооскольский технологический институт им. А. А. Угарова (филиал) Национального исследовательского технологического университета «МИСиС»
Россия

доктор физико-математических наук



Список литературы

1. Abel N.H. Solution de quelques probl`emes `a l’aide d’int´egrales d´efinies // Magazin Naturvidensk, Vol. 1 (1823), pp. 55–68.

2. Archibald T. From attraction theory to existence proofs: the evolution of potential-theoretic methods in the study of boundary-value problems, 1860-1890 // Revue d’histoire des

3. math´ematiques. 1996. – Vol. 2. – Iss. 1. – pp. 67-93.

4. Ахмедов К. Т. Аналитический метод Некрасова–Назарова в нелинейном анализе // Успехи математических наук, Том 12:4(76) (1957), C. 135–153.

5. Бахтин И.А., Красносельский М.А. К задаче о продольном изгибе стержня переменной жёсткости // Доклады АН СССР, Том 105, № 4 (1955). С. 621-624

6. Богатов Е.М. Об истории положительных операторов (1900-е-1960-е гг.) и вкладе М.А. Красносельского // Научные ведомости БелГУ. Серия Прикладная математика, Физика,

7. Т. 52, № 2, С. 105-127.

8. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016. Т. 24. № 2, С. 77-114.

9. Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О ранней истории нелинейных интегральных уравнений / Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории. Материалы XVII междунар. конф., (23-26 cентября 2020). - Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2020. с. 321-325.

10. Banach S. Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations integrals // Fundamenta Mathematicae, 3 (1922), p. 133—181.

11. Bateman, H. Report on the history and present state of the theory of integral equations // British Association for the Advancement of Science, Vol. 80 (1910), pp. 345-424.

12. Bˆocher M. An introduction to the study of integral equations. Cambridge, the University Press 1909. 78 p.

13. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // Успехи математических наук, Том 17:2(104) (1962), С.13–75.

14. Weyl H. David Hilbert and his mathematical work // Bulletin of the American Mathematical Society, Vol. 50 (1944), Iss. 9, pp. 612-654.

15. Villat H. Sur la r´esistance des fluides // Annales scientifiques de l’´Ecole Normale Sup´erieure. –1911. – V. 28. – p. 203-311.

16. Volterra, V. Sulla inversione degli integrali definiti // Tip. della R. Accademia dei Lincei, 1896.Vol. 5, pp. 177-185.

17. Volterra, V. Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti // Annali di Matematica Pura ed Applicata, Vol. 25, (1897), pp. 139-178.

18. Volterra, V. Sopra un problema di elettrostatica // Nuovo Cimento, Vol. XVI (1884), pp. 49-57.

19. Volterra V. Lecons sur les ´equations int´egrales et les ´equations int´egro-differentielles. Gauthier

20. Villars, Paris, 1913. 180 p.

21. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen // Acta mathematica. Vol. 54 (1930), pp. 117–176.

22. Hilbert D. Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgieichimgen. – Leipzig, Berlin: B. G. Teubner, 1912. 320 p.

23. Golomb, M. Zur Theorie der nichtlinearen Integralgleichungen, Integralgleichungssysteme und

24. allgemeinen Funktionalgleichungen // Mathematische Zeitschrift, Vol. 39 (1935). pp. 45-75.

25. Golomb, M. Review of the article ”Hammerstein, A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungen”. Jahrbuch Database URL: http://www.zentralblatt-math.org/jahrbuch/

26. ?id=66165&type=pdf (дата обращения 19.10.2020)

27. Golubitsky M., Schaeffer D. G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory, Vol. I. Springer, New York (1985). 475 p.

28. Dieudonn´e J. History of functional analysis / North-Holland publishing company. Amsterdam - 1981. - 316 p.

29. Du Bois-Reymond, P. Bemerkungen ¨uber Δ𝑧 = 0 // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 103 (1888), S. 204-229.

30. Идельсон Н.И. Комментарии к книге А. Клеро «Теория фигуры Земли» в кн. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.: Изд-во Академии Наук СССР,

31. C. 260-355.

32. Iurato G. The dawning of the theory of equilibrium figures: a brief historical account from the 17th through the 20th century// arXive: 1409.1823 (2014).

33. Clairaut A. C. Th´eorie de la figure de la terre: tir´ee des principes de l’hydrostatique. – chez David Fils, libraire, 1743. – Vol. 668, 305 p.

34. Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1947. 364 с.

35. Koch, H. von. Sur les fonctions implicites d´efinies par une infinit´e d’´equations simultan´ees //Bulletin de la Soci´et´e Math´ematique de France, Vol. 27 (1899): p. 215-227.

36. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962, 394 с.

37. Laplace, P. Trait´e de m´ecanique c´eleste, Livre III. Paris : Duprat, 1802. 382 p.

38. Levi-Civita T. Sulla resistenza d’attrito // Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 23(1907), p. 1-37.

39. Leray, J. ´Etude de diverses ´equations int´egrales non lin´eaires et de quelques probl`emes que pose l’Hydrodynamique // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, Vol. 12 (1933): pp.1-82.

40. Leray J. Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace // Acta mathematica.1934. – Vol. 63. – pp. 193-248.

41. Leray, J. Essai sur les mouvements plans d’un fluide visqueux que limitent des parois // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, Vol. 13 (1934): pp. 331-418.

42. Ляпунов А.М. Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости (Магистерская диссертация). СПб, Типография Академии наук, 1884, XV+109 с.

43. Liapunoff A.M. Recherches dans la th´eorie de la figures des corps c´elestes // Memoires de l’Academie Imperiale des Sciences de St. Petersburg. 8-me S´erie. 1903. Vol. 14, no. 7, pp. 1-37.

44. Liapounoff A.M. Sur la stabilite des figures ellipso¨ıdales d’´equilibre d’un liquide anime d’un mouvement de rotation // The Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse, 2 ser., Vol. 6 (1904), pp. 5-116.

45. Liapounoff A. Sur un probl´eme de Tchebycheff // Memoires de l’Academie Imperiale des

46. Sciences de St. Petersburg, Vol. 17 (8𝑚𝑒 Serie), no. 3 (1905). pp. 1-31

47. Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. I partie. Etude generale du probleme // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1906. IV+225 p.

48. Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. II partie. Figures d’equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Maclaurin // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1909. IV+203 p.

49. Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. III partie. Figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides de Jacobi // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1912. IV+228 p.

50. Liapunoff, A.M. Sur les figures d’´equilibre peu diff´erentes des ellipsoides d’une masse liquide, homog`ene, dou´ee d’un mouvement de rotation. IV partie. Nouvelles formules pour la recherches des figures d’´equilibre // St.-Psb. Imprim. de l’Acad. des Sc., 1914. IV+112 p.

51. Liapounoff A. Sur les ´equations qui appartiennent aux surfaces des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides d’un liquide homog`ene en rotation // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:3 (1916), pp. 139–168.

52. Liapounoff A. Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Premi`ere partie // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:7 (1916), pp. 471–502.

53. Liapounoff A. Nouvelles consid´erations relatives `a la th´eorie des figures d’´equilibre d´eriv´ees des ellipsoides dans le cas d’un liquide homog`ene. Seconde partie // Известiя Императорской Академiи Наукъ. VI серiя, 10:8 (1916), pp. 589–620.

54. Lichtenstein, L. ¨Uber einige Existenzprobleme der Variationsrechnung // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 145 (1915), pp. 24–85.

55. Lichtenstein, L. Untersuchungen ¨uber die Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten, deren

56. Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze an-ziehen. Erste Abhandlung. Homogene Fl¨ussigkeiten. Allgemeine Existenzs¨atze // Mathematische Zeitschrift 1 (1918): p. 229-284

57. Lichtenstein, L. Vorlesungen ¨uber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und IntegroDifferentialgleichungen nebst Anwendungen / Julius Springer, Berlin, 1931. 164 p.

58. Lichtenstein L. Gleichgewichtsfiguren rotierender Fl¨ussigkeiten. Springer, Berlin 1933, 201 p.

59. Liouville J. Second M´emoire sur le d´eveloppement des fonctions ou parties de fonctions en s´eries dont les divers termes sont assuj´etis `a satisfaire `a une mˆeme ´equation diff´erentielle du second ordre, contenant un param`etre variable // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1837.

60. – Vol. 2. – pp. 16-35.

61. Liouville, J. Sur le theoreme de M. Gauss, concernant le produit des deux rayons de courbure principaux en chaque point d’une surface, Notes IV de J. Liouville a ouvrage Applications de

62. Analyse a la Geometrie par G. Monge, Paris, Bachelier Ed., 1850. pp. 583-600.

63. Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости / Перевод с нем. Под ред. Г. Н. Дубошина. М.: Наука, 1965. 252 с.

64. L¨utzen J. Integral equations / Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 2 vols. ed. Grattan-Guinness I. Baltimore : Johns Hopkins University Press, 2003. p. 385-394.

65. Ляпунов А.М. Собрание сочинений. Т. III. М.-Л. Изд-во АН СССР, 1959 г. 376 с.

66. Murphy, R. On the inverse method of definite integrals, with physical applications //

67. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. 4 (1833), pp. 353–408.

68. Мухин Р.Р. Очерки по истории динамического хаоса: Исследования в СССР в 1950--1980-е годы. Изд. 2-е, стереотип. M.: Изд-во URSS. 2018. 320 с.

69. Назаров Н.Н. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштейна. - Труды Среднеазиатского государственного университета. Серия V-а, Математика. Вып. 33., Ташкент,

70. с. 1-79.

71. Назаров Н.Н. Методы решения нелинейных интегральных уравнений типа Гаммерштейна.

72. Труды Среднеазиатского государственного университета. Серия 6, физико-математические науки. Ташкент, 1945. С. 3-14.

73. Некрасов, А. И. О волне Стокса // Известия Иваново-Вознесенского политехнического института, Вып. 2 (1919), с. 81-89.

74. Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида // Известия Иваново-Вознесенского политехнического института, Вып. 3 (1921), с. 52-65.

75. Некрасов, А. И. О прерывном течении жидкости в двух измерениях вокруг препятствия в форме дуги круга // Известия Иваново- Вознесенского политехнического института, Вып 5. (1922), с. 3-19.

76. Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости //

77. Научные известия Академического центра НКП, сб. 3 (1922), Физика, с. 128-138.

78. Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида, гл.2. О нелинейных интегральных уравнениях // Известия Иваново- Вознесенского политехнического института, Вып. 6 (1922),

79. с. 155-171.

80. Некрасов, А. И. О нелинейных интегральных уравнениях с постоянными пределами // Известия Физического института и института биологической физики, Вып. 2 (1922), с. 221-238.

81. Некрасов, А. И. О волнах установившегося вида на поверхности тяжёлой жидкости (конечной глубины) // Тр. Всеросс. математ. съезда 1927 г. в Москве. М.-Л., 1928. с. 258-262.

82. Некрасов, А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости / М. : Изд-во АН СССР, 1951. – 96 с.

83. Некрасов, А. И. Собрание сочинений, Т. 1. Отв. ред. Я.И. Секерж-Зенькович. М. : Изд-во АН СССР, 1961. – 444 с.

84. Neumann C. Ueber die Integration der partiellen Differentialgleichung:...= 0 // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik. – 1861. – Vol. 59. – pp. 335-366.

85. Neumann C. Untersuchungen ¨uber das Logarithmische und Newton’sche Potential // Mathematische Annalen, Vol. 13 (1878), pp. 255–300.

86. Picard E. M´emoire sur la th´eorie des ´equations aux d´eriv´ees partielles et la m´ethode des approximations successives // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1890. – Vol.

87. – pp. 145-210.

88. Picard E. Trait´e d’Analyse, t. III. Gauthier-Villars. Paris, 1896. 568 p.

89. Poincar´e, Н. Sur l’´equilibre d’une masse fluide anim´ee d’un mouvement de rotation // Acta mathematica, Vol. 7 (1885), no. 1, pp. 259-380.

90. Poincar´e, Н. Sur l’´equilibre d’une masse h´et´erog`ene en rotation // Comptes rendus de l’Acad´emie des Sciences, Vol. 106 (1888), pp. 1571-1574.

91. Poincar´e H. La m´ethode de Neumann et le probleme de Dirichlet //Acta mathematica, 1897.

92. – Vol. 20. – pp. 59-142.

93. Poincar´e H. Figures d’´equilibre d’une masse fluide: le¸cons profess´ees `a la Sorbonne en 1900. Paris, Gauthier-Villars, 1902. 211 p.

94. Пуанкаре А. Фуксовы функции и уравнение Δ𝑢 = 𝑒𝑢. В кн. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах.Т. III. Математика. М.: Наука 1974. с. 235-309.

95. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2000. 208 с.

96. Puiseux, V. Recherches sur les fonctions alg´ebriques // Journal of Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 1re s´erie, t. 15, (1850): pp. 365-480.

97. Radau, R.R. Remarques sur la th´eorie de la figure de la Terre // Bulletin astronomique, t. II (1885), pp. 157-161.

98. Ritz W. ¨Uber eine neue Methode zur L¨osung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, Vol. 135 (1909), pp. 1–61.

99. Секерж-Зенькович, Я. И. Александр Иванович Некрасов (к семидесятипятилетию со дня рождения), Успехи математических наук, Том 15:1(91) (1960), С. 153–162.

100. Смирнов Н. С. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений. Л.-М.: Объединённое научно-техническое издательство, 1936. 124 с.

101. Смирнов В.И. Очерки научных трудов Ляпунова / Ляпунов А.М. Избранные труды. Л.: Изд-во Академии наук СССР, 1948. С.341-450.

102. Смирнов В. И., Юшкевич А. П. Переписка А.М. Ляпунова с А. Пуанкаре и П. Дюэмом // Историко-математические исследования, М., 1985. – Т. 29. – С. 265-284.

103. Todhunter I. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth: From the Time of Newton to that of Laplace. In 2 Volumes. Vol. II. London, Macmillan, 1873. 508p.

104. Fourier J. B. J. Th´eorie analytique de la chaleur. Paris, F. Didot, 1822. 639 p.

105. Fredholm, I. Sur une classe d’´equations fonctionnelles // Acta mathematica, Vol. 27 (1903), pp. 365—390.

106. Fredholm I. Les ´equations int´egrales lin´eaires // CR Congr´es des Math. tenua Stockholm 1909. – 1909. pp. 92-100.

107. Хведелидзе Б.В. Уравнения Ляпунова-Шмидта / Математическая энциклопедия в пяти томах. Ред. И.М. Виноградов. Т.3. М., 1982. C. 473-474.

108. Hellinger E. und Toeplitz O. Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. Sonderausgabe aus der Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften. Mit

109. einem Vorwort von E. Hilb. Verlag B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1928. S. 1335- 1616.

110. Schmidt, E.. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. I Teil. Entwicklung willk¨urlichen Funktionen nach System vorgeschriebener // Mathematische Annalen, Vol.

111. (1907), pp. 433–476.

112. Schmidt, E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. II. Teil. Aufl¨osung der allgemeinen linearen Integralgleichung // Mathematische Annalen, Vol. 64 (1907), pp. 161- 174.

113. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. III. Teil. ¨Uber die Aufl¨osung der nichtlinearen Integralgleichung und die Verzweigung ihrer L¨osungen // Mathematische Annalen – 1908. – Vol. 65, pp. 370-399.

114. Schwarz H.A. Ueber ein die Fl¨achen kleinsten Fl¨acheninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung (Festschrift zum Jubelgeburtstage des HerrnWeierstrass) // Acta societatis scientiarum Fennicae, 15 (1885). pp. 315–362

115. Урысон П. C., Об одном типе нелинейных интегральных уравнений // Математический сборник, 31:2 (1923), С. 236–255.

116. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова, т. 1, М.-Л., Государственное издательство технико-теоретической

117. литературы, 1951. 514 с.

118. Урысон П.С. Труды по топологии и другим областям математики. Прим. и ступит. статья П.С. Александрова, т. 2, М.-Л., Государственное издательство технико-теоретической

119. литературы, 1951. 480 с.


Для цитирования:


Богатов Е.М., Мухин Р.Р. О развитии нелинейных интегральных уравнений на раннем этапе и вкладе отечественных математиков. Чебышевский сборник. 2021;22(3):311-344. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-311-344

For citation:


Bogatov E.M., Mukhin R.R. On the development of nonlinear integral equations at the early stage and the contribution of domestic mathematics. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):311-344. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-311-344

Просмотров: 16


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)