Некоторые теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных
Аннотация
В данной работе построен новый метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток.
Данный метод является обобщением и развитием метода В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными на случай исполь-
зования произвольных обобщенных параллелепипедальных сеток для целочисленных решеток. Также найдена погрешность данного метода. В случае использования бесконечной последовательности вложенных обобщённых параллелепипедальных сеток будет иметь место достаточно быстрая сходимость.
Кроме того предложен вариант построения оптимальных сеток в двумерном случае. Он основан на приближении алгебраических решёток целочисленными. В двумерном случае построенные таким образом решётки всегда будут давать обобщённые параллелепипедальные сетки. При этом имеются простые способы оценки качества полученных сеток. Один такой способ, основанный на использовании гиперболического параметра, рассмотрен в данной работе.
Об авторе
Александр Валерьевич Родионов
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия
Россия
Список литературы
1. Ш. К. Абикенова, А. Утесов, Н. Т. Темиргалиев, О дискретизации решений волнового уравнения с начальными условиями из обобщенных классов Соболева, Матем. заметки, 2012, том 91, выпуск 3, 459–463.
2. Е. А. Баилов, Н. Т. Темиргалиев. О дискретизации решений уравнения Пуассона, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, том 46, номер 9, 1594–1604.
3. В. А. Быковский, С. В. Гассан, О параметре оптимальности параллелепипедальных сеток
4. Коробова для кубатурных формул, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2011, том 51, номер 8, 1363–1369.
5. Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов — М.: Наука, 1981.
6. Герцог, А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле /
7. А. С. Герцог // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия:
8. Математика. Физика. ь23(188). — Вып. 5. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. — С. 41–53.
9. С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н.
10. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пих-
11. тилькова Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сборник
12. Том 18 Выпуск 4, 2017 г, с. 6-85.
13. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Доброволь-
14. ский Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптималь-
15. ных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.
16. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960.
17. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский
18. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффици-
19. ентов // Чебышевский сборник 2012.
20. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды на-
21. туральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий
22. сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–178.
23. Н. М. Добровольский. О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции
24. решёток // Чебышевский сборник, 2015 Т. 16. Вып. 1). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Тол-
25. стого. С. 176 — 190.
26. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближен-
27. ного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник, 2008 Т. 9.
28. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.
29. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщен-
30. ных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник Тула.
31. Т. 3 вып. 2(4) С. 43 – 59.
32. Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебы-
33. шевский сборник, 2004 Т. 5. Вып.1(9), Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 95 — 121.
34. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер.
35. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 — 90.
36. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84,
37. N 6090–84.
38. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций //
39. Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.
40. Добровольский, Н. М. О квадратурных формулах на классах 𝐸𝛼
41. 𝑠 (𝑐) и 𝐻𝛼
42. 𝑠 (𝑐) / Н. М. Доб-
43. ровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6091–84.
44. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для
45. решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф.
46. Тула, 1998. С. 90
47. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.–
48. мат. наук / Н. М. Добровольский. — Тула, 1984.
49. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ...
50. канд. физ.–мат. наук / Н. М. Добровольский. — Москва, 1985.
51. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения / Н. М. Доброволь-
52. ский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. — Тбилиси, 1985. —
53. C. 67–70.
54. Добровольский, Н. М. Многомерные теоретико – числовые сетки и решётки и их прило-
55. жения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого,
56.
57. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. Численный эксперимент по применению паралле-
58. лепипедальных сеток // Алгоритмические проблемы теории групп и подгрупп: Сб. Тула,
59. C. 153–155.
60. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В. Многомерная
61. теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004 Т. 5. Вып. 1(9).
62. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 122 — 143.
63. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории
64. чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.
65. Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов.
66. — М.: Физматгиз, 1963.
67. Коробов, Н. М. О приближённом вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959.
68. Т. 124. № 6. С. 1207–1210.
69. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание)
70. М.: МЦНМО, 2004.
71. И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков, Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Доб-
72. ровольский. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник. 2018.
73. Т. 19, вып. 4, С. 118–176.
74. А. В. Родионов. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом
75. В. С. Рябенького // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информа-
76. тика, 13:4(2) (2013), 120–124.
77. А. В. Родионов. О методе Н. М. Коробова приближенного решения задачи Дирихле //
78. Чебышевский сборник, 15:3 (2014), 48–85.
79. А. В. Родионов. Гиперболический параметр приближения квадратичных алгебраических
80. решёток целочисленными // Чебышевcкий сборник, 2020, т. 22, вып. 3, с. 241–249.
81. Рябенький В. С. Об одном способе получения разностных схем и об использовании теоре-
82. тикочисловых сеток для решения задачи Коши методом конечных разностей // Тр. матем.
83. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 232 — 237.
84. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций //
85. ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818–821.
86. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук.
87. М.: ВЦ АН СССР. 1979.
88. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций
89. // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 — 802.
90. Buchholz, A. et al. “Quasi-Monte Carlo Variational Inference.” ICML (2018).
91. Jingrun Chen, Rui Du, Panchi Li, Liyao Lyu. Quasi-Monte Carlo sampling for machine-learning
92. partial differential equations //
93. Jingrun Chen, Rui Du & Keke Wu. (2020). A Comparison Study of Deep Galerkin Method and
94. Deep Ritz Method for Elliptic Problems with Different Boundary Conditions. Communications
95. in Mathematical Research . 36 (3). 354-376.
96. Jiao, Yuling et al. “Error Analysis of Deep Ritz Methods for Elliptic Equations.” ArXiv
97. abs/2107.14478 (2021): n. pag.
98. Liao, Yulei and P. Ming. “Deep Nitsche Method: Deep Ritz Method with Essential Boundary
99. Conditions.” ArXiv abs/1912.01309 (2019): n. pag.
100. Wang, Zhongjian and Zhiwen Zhang. “A mesh-free method for interface problems using the
101. deep learning approach.” J. Comput. Phys. 400 (2020): n. pag.
102. V. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 32,
103. Cambridge University Press, Cambridge, 2018 , 550 pp.
104. Dinh D˜ung, Vladimir Temlyakov, Tino Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Advanced
105. Courses in Mathematics - CRM Barcelona, Birkh¨auser Basel, Basel, 2018 , xi+218 pp.
106. V.N. Temlyakov, Universal discretization, Journal of Complexity, Volume 47, 2018, Pages 97-
107. ,
108. V.N. Temlyakov, M. Ullrich, On the fixed volume discrepancy of the Fibonacci sets in the
109. integral norms, Journal of Complexity, Volume 61, 2020, 101472.
110. Sirignano, Justin & Spiliopoulos, Konstantinos. (2017). DGM: A deep learning algorithm
111. for solving partial differential equations. Journal of Computational Physics. 375. 10.1016/
112. j.jcp.2018.08.029.
113. Weinan E, Bing Yu. The Deep Ritz method: A deep learning-based numerical algorithm for
114. solving variational problems // Communications in Mathematics and Statistics, 2018, vol. 6,
115. p. 1–12.
Рецензия
При поддержке: Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41- 710004_р_а.
Для цитирования:
Родионов А.В. Некоторые теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Чебышевский сборник. 2021;22(3):256-297. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-256-297
For citation:
Rodionov A.V. Some number-theoretic methods for solving partial derivatives. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):256-297. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-256-297
Просмотров: 213
Послать статью по эл. почте 