Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Некоторые теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-256-297

Полный текст:

Аннотация

В данной работе построен новый метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток.
Данный метод является обобщением и развитием метода В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными на случай исполь-
зования произвольных обобщенных параллелепипедальных сеток для целочисленных решеток. Также найдена погрешность данного метода. В случае использования бесконечной последовательности вложенных обобщённых параллелепипедальных сеток будет иметь место достаточно быстрая сходимость.
Кроме того предложен вариант построения оптимальных сеток в двумерном случае. Он основан на приближении алгебраических решёток целочисленными. В двумерном случае построенные таким образом решётки всегда будут давать обобщённые параллелепипедальные сетки. При этом имеются простые способы оценки качества полученных сеток. Один такой способ, основанный на использовании гиперболического параметра, рассмотрен в данной работе.

Об авторе

Александр Валерьевич Родионов
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия


Список литературы

1. Ш. К. Абикенова, А. Утесов, Н. Т. Темиргалиев, О дискретизации решений волнового уравнения с начальными условиями из обобщенных классов Соболева, Матем. заметки, 2012, том 91, выпуск 3, 459–463.

2. Е. А. Баилов, Н. Т. Темиргалиев. О дискретизации решений уравнения Пуассона, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2006, том 46, номер 9, 1594–1604.

3. В. А. Быковский, С. В. Гассан, О параметре оптимальности параллелепипедальных сеток

4. Коробова для кубатурных формул, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2011, том 51, номер 8, 1363–1369.

5. Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов — М.: Наука, 1981.

6. Герцог, А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле /

7. А. С. Герцог // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия:

8. Математика. Физика. ь23(188). — Вып. 5. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. — С. 41–53.

9. С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н.

10. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пих-

11. тилькова Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сборник

12. Том 18 Выпуск 4, 2017 г, с. 6-85.

13. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Доброволь-

14. ский Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптималь-

15. ных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. — 283 с.

16. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960.

17. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский

18. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффици-

19. ентов // Чебышевский сборник 2012.

20. Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Ю. Реброва, А. В. Родионов. Моноиды на-

21. туральных чисел в теоретико-числовом методе в приближенном анализе // Чебышевcкий

22. сборник. 2019. Т. 20, вып. 1. С. 164–178.

23. Н. М. Добровольский. О современных проблемах теории гиперболической дзета-функции

24. решёток // Чебышевский сборник, 2015 Т. 16. Вып. 1). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Тол-

25. стого. С. 176 — 190.

26. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближен-

27. ного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник, 2008 Т. 9.

28. Вып. 1(25). Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 185 — 223.

29. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщен-

30. ных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник Тула.

31. Т. 3 вып. 2(4) С. 43 – 59.

32. Добровольский М. Н. Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебы-

33. шевский сборник, 2004 Т. 5. Вып.1(9), Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 95 — 121.

34. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер.

35. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 — 90.

36. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84,

37. N 6090–84.

38. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций //

39. Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.

40. Добровольский, Н. М. О квадратурных формулах на классах 𝐸𝛼

41. 𝑠 (𝑐) и 𝐻𝛼

42. 𝑠 (𝑐) / Н. М. Доб-

43. ровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6091–84.

44. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Реброва И. Ю. Об одном рекурсивном алгоритме для

45. решёток // Теория приближений и гармонический анализ: Тез. докл. Междунар. конф.

46. Тула, 1998. С. 90

47. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.–

48. мат. наук / Н. М. Добровольский. — Тула, 1984.

49. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ...

50. канд. физ.–мат. наук / Н. М. Добровольский. — Москва, 1985.

51. Добровольский, Н. М. Теоретико–числовые сетки и их приложения / Н. М. Доброволь-

52. ский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. — Тбилиси, 1985. —

53. C. 67–70.

54. Добровольский, Н. М. Многомерные теоретико – числовые сетки и решётки и их прило-

55. жения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого,

56.

57. Добровольский Н. М., Ванькова В. С. Численный эксперимент по применению паралле-

58. лепипедальных сеток // Алгоритмические проблемы теории групп и подгрупп: Сб. Тула,

59. C. 153–155.

60. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Андреева О. В., Зайцева Н. В. Многомерная

61. теоретико-числовая Фурье интерполяция // Чебышевский сборник, 2004 Т. 5. Вып. 1(9).

62. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 122 — 143.

63. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории

64. чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062 — 1065.

65. Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов.

66. — М.: Физматгиз, 1963.

67. Коробов, Н. М. О приближённом вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959.

68. Т. 124. № 6. С. 1207–1210.

69. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание)

70. М.: МЦНМО, 2004.

71. И. Ю. Реброва, В. Н. Чубариков, Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Доб-

72. ровольский. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник. 2018.

73. Т. 19, вып. 4, С. 118–176.

74. А. В. Родионов. Решение дифференциальных уравнений в частных производных методом

75. В. С. Рябенького // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информа-

76. тика, 13:4(2) (2013), 120–124.

77. А. В. Родионов. О методе Н. М. Коробова приближенного решения задачи Дирихле //

78. Чебышевский сборник, 15:3 (2014), 48–85.

79. А. В. Родионов. Гиперболический параметр приближения квадратичных алгебраических

80. решёток целочисленными // Чебышевcкий сборник, 2020, т. 22, вып. 3, с. 241–249.

81. Рябенький В. С. Об одном способе получения разностных схем и об использовании теоре-

82. тикочисловых сеток для решения задачи Коши методом конечных разностей // Тр. матем.

83. ин-та им. В. А. Стеклова. 1961. Т. 60. С. 232 — 237.

84. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций //

85. ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818–821.

86. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук.

87. М.: ВЦ АН СССР. 1979.

88. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций

89. // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. № 4. С. 784 — 802.

90. Buchholz, A. et al. “Quasi-Monte Carlo Variational Inference.” ICML (2018).

91. Jingrun Chen, Rui Du, Panchi Li, Liyao Lyu. Quasi-Monte Carlo sampling for machine-learning

92. partial differential equations //

93. Jingrun Chen, Rui Du & Keke Wu. (2020). A Comparison Study of Deep Galerkin Method and

94. Deep Ritz Method for Elliptic Problems with Different Boundary Conditions. Communications

95. in Mathematical Research . 36 (3). 354-376.

96. Jiao, Yuling et al. “Error Analysis of Deep Ritz Methods for Elliptic Equations.” ArXiv

97. abs/2107.14478 (2021): n. pag.

98. Liao, Yulei and P. Ming. “Deep Nitsche Method: Deep Ritz Method with Essential Boundary

99. Conditions.” ArXiv abs/1912.01309 (2019): n. pag.

100. Wang, Zhongjian and Zhiwen Zhang. “A mesh-free method for interface problems using the

101. deep learning approach.” J. Comput. Phys. 400 (2020): n. pag.

102. V. Temlyakov, Multivariate approximation, Cambridge Monogr. Appl. Comput. Math., 32,

103. Cambridge University Press, Cambridge, 2018 , 550 pp.

104. Dinh D˜ung, Vladimir Temlyakov, Tino Ullrich, Hyperbolic cross approximation, Advanced

105. Courses in Mathematics - CRM Barcelona, Birkh¨auser Basel, Basel, 2018 , xi+218 pp.

106. V.N. Temlyakov, Universal discretization, Journal of Complexity, Volume 47, 2018, Pages 97-

107. ,

108. V.N. Temlyakov, M. Ullrich, On the fixed volume discrepancy of the Fibonacci sets in the

109. integral norms, Journal of Complexity, Volume 61, 2020, 101472.

110. Sirignano, Justin & Spiliopoulos, Konstantinos. (2017). DGM: A deep learning algorithm

111. for solving partial differential equations. Journal of Computational Physics. 375. 10.1016/

112. j.jcp.2018.08.029.

113. Weinan E, Bing Yu. The Deep Ritz method: A deep learning-based numerical algorithm for

114. solving variational problems // Communications in Mathematics and Statistics, 2018, vol. 6,

115. p. 1–12.


Рецензия

Для цитирования:


Родионов А.В. Некоторые теоретико-числовые методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Чебышевский сборник. 2021;22(3):256-297. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-256-297

For citation:


Rodionov A.V. Some number-theoretic methods for solving partial derivatives. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):256-297. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-256-297

Просмотров: 243


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)