Полиадические числа Лиувилля

Аннотация

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую часть работ
автора о бесконечной линейной независимости полиадических чисел
𝑓0(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛, где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)𝑛 =
𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q𝑝. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое число Лиувилля и значения
рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля.
Отметим работы Е.С. Крупицына, где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля и работы Е.Ю. Юденковой, в которых значения
𝐹-рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля.
Напоним, что каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид 𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.
Этот ряд сходится в любом поле 𝑝-адических чисел Q𝑝.
Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число
𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство |𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝑛.
В статье доказывается простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Q𝑝. Иными словами, полиадическое
число Лиувилля — глобально трансцендентное число. Устанавливается теорема о свойствах приближений совокупности 𝑝-адических чисел и ее следствие — достаточное условие алгебраической независимости совокупности 𝑝-адических чисел. Также получена теорема о
глобальной алгебраической независимости совокупности полиадических чисел.