О некоторых аддитивных проблемах гольдбахова типа
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-179-195
Аннотация
В данной работе найдена асимптотическая формула для числа решений нелинейной тернарной проблемы с простыми числами, остаток в которой имеет степенное понижение. Вывод ее использует “явную формулу” для числа простых, не превосходящих любой наперед заданной границы, через нули дзета-функции Римана. По существу решается тернарная задача на “каждом нуле”.
Исследование подобных задач стало возможным после решения в 1937 г. И. М. Виноградовым тернарной проблемы Гольдбаха [1], [2]. В 1938 г. он нашел оценку среднего
значения модуля тригонометрической суммы по простым со степенным понижением относительно длины промежутка суммирования ([2], теорема 3, с.82; теоремы 6 и 7, с.86).
Начиная с 1996 г. Г. И. Архипов, К.Буриев и автор [6]-[9], используя еще соображения из теории диофантовых приближений и “явную формулу” для числа простых чисел в теории дзета-функции Римана, получили несколько результатов для исключительного множества в бинарных проблемах гольдбахова типа. В работах Г. Л. Ватсона, Д. Брюдерна, Р. Д. Кука и А. Перелли [10]-[12] дополнительно к этому развивается подход, связанный с теорией меры, для уточнения оценок линейных тригонометрических сумм с простыми числами.
Об авторах
Холем Мансур Салиба
университет Нотр-Дам-Луэз
Ливан
Ливан
кандидат физико-математических наук
Владимир Николаевич Чубариков
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит. 1980, 144 с.
2. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Физматлит. 1976, 144 с.
3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Физматлит. 1983
4. Hua Loo-Keng. Selected Papers. — N.-Y.,Heidelberg, Berlin, 1983. pp.888.
5. Hua Loo-Keng. Some results in the additive prime number theory // Quart. J. Math. Oxford. 1938. V.9. P.68-80.
6. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.
7. Архипов Г. И., Буриев К., Чубариков В. Н. О мощности исключительного множества в бинарной аддитивной проблеме гольдбахова типа // Тр. МИАН, 1997, т.218, с. 28-57.
8. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольдбахова типа // Докл. РАН, 2002, т.387, №3, с. 295-296.
9. Архипов Г. И., ЧубариковВ. Н. О мере “больших дуг” в разбиении Фарея // Чебышевский сборник, 2011, т.12, вып. 4, с. 39-42.
10. Br¨udern J., Cook R. J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments // In book: Sieve Methods, Exponential Sums and their Applications in Number Theory.
11. Greaves G. R. H., Harman G., Huxley M. N., Eds. Cambridge University Press, 1996, p. 87-100.
12. Br¨udern J. Some additive problems of Goldbach’s type // Functiones et Approximatio. 2000, V. XXVIII, p. 45-73.
13. Watson G. L. On indefinite quadratic forms in five variables // Proc. London Math. Soc., 1953, 3(3), p. 170-181.
14. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред.физ.-мат. лит. 1987, 368 с.
15. Arkhipov G. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2004, pp. 554.
16. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set of Goldbach’s problem // Acta arithm. 1975. V. 27. P. 353–370.
17. Cheng Jing-run, Liu Jian MIn. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) // Chinese Quart. J. Math. 1989. V.4. No. 1. P. 1–15.
18. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. — М.:Наука. Гл.ред.физ.- мат.лит-ры, 1983. 240 с.
19. Pan Chengdong, Pan Chenbiao. Goldbach conjecture. — Bejing (China), Science Press, 1992. pp.240.
20. Касселс Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит. 1961. pp.213.
21. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир. 1967. pp.512.
22. Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. 4-е изд., испр. — М.: Дрофа. 2004, 640 с.
23. Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г.Вейля от многочленов растущей степени. Канд. дис. — М.: МГУ. 1995.
24. Тырина О. В. Средние значения тригонометрических сумм. Канд. дис. — М.: МГУ. 1989.
25. Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1984, 278, No. 2, 302–304.
26. Чубариков В. Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер.матем., 1985, 49, No. 5, 1031–1067.
Рецензия
Для цитирования:
Салиба Х., Чубариков В.Н. О некоторых аддитивных проблемах гольдбахова типа. Чебышевский сборник. 2021;22(3):179-195. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-179-195
For citation:
Saliba H., Chubarikov V.N. On some additive problems of Goldbach’s type. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):179-195. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-179-195
Просмотров:
324
Послать статью по эл. почте 