Тригонометрические суммы сеток алгебраических решеток с бесконечно дифференцируемыми весами

Аннотация

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами. Рассмотрен случай произвольной весовой функции бесконечного порядка.
Для параметра m-> тригонометрической суммы 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚) выделены три случая.
Если m-> принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 · 𝑇(⃗𝑎)), то для любого натурального 𝑟 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(𝑡(𝑚, . . . ,𝑚)) = 1 + 𝑂 (︂ ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂.
Если ⃗𝑚 не принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 ·𝑇(⃗𝑎)), то определены два вектора ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) = (𝑛1, . . . , 𝑛𝑠) и ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) из условий ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) ∈ Λ, ⃗𝑚 = ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) + ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) и произведение 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)) = 𝑛1 · . . . ·𝑛𝑠 минимально. Для любого натурального 𝑟 доказана асимптотическая оценка
|𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚)| 6 𝐵(𝑟,∞) (︃ 1 − 𝛿(⃗𝑘Λ(⃗𝑚)) (𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)))𝑟+1 + 𝑂
(︂ 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚))𝑟+1 ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂)︃
.