Многочлены с малыми значениями в окрестностях корней в архимедовой и неархимедовой метриках
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-143-153
Аннотация
Для натурального 𝑄 > 1 обозначим 𝐼 — интервал 𝐼 ⊂ R длины 𝜇1𝐼 = 𝑄−𝑣1 , 𝑣1 > 0 (𝜇1 − мера Лебега) и 𝜇2𝐾=𝑄−𝑣2 , 𝑣2 > 0 (𝜇2 − мера Хаара измеримого цилиндра 𝐾⊂Q𝑝).
Введем множество полиномов степени ≤ 𝑛 и высоты 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄 𝒫𝑛 (𝑄) = {𝑃 ∈ Z[𝑥] : deg 𝑃 ≥ 𝑛, 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄} .
Для таких многочленов обозначим 𝒜(𝑛,𝑄) множество действительных корней, и 𝑝-адических корней 𝑃 (𝑥), лежащих в пространстве 𝑉 = 𝐼 × 𝐾. В работе доказано, что
подходящем 𝑐1 = 𝑐1 (𝑛) и 0 ≤ 𝑣1, 𝑣2 6 1 2 справедливо неравенство #𝒜(𝑛,𝑄) > 𝑐1𝑄𝑛+1−𝑣1−𝑣2 .
Доказательство проводится методами метрической теории диофантовых приближений, разработанных В. Г. Спринджуком при доказательстве гипотезы Малера и В. И. Берника при доказательстве гипотезы А. Бейкера.
Ключевые слова
При поддержке: Исследование выполнено при содействии гранта БРФФИ (проект Ф19М-088).
Об авторах
Артём Вадимович Луневич
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Наталья Валентиновна Шамукова
Университет гражданской защиты Министерства по чрезвычайным ситуациям Республики Беларусь
Беларусь
Беларусь
кандидат физико-математических наук, доцент
Список литературы
1. V. I. Bernik, An application of Haudorff dimension in the theory of Diophantine approximation // Acta. Arith. 1983. Vol. 42, P. 219-253.
2. V. I. Bernik. N. Kalosha. Approximation of zero by values ol integral polvnomials in space R × C × Q𝑝 // Vesti NAN of Belarus Ser. fiz-mat nauk. 2004. Vol. 1. P. 121-123.
3. Bernik, V. I., Gotze, F., Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals // Izvestiya: Mathematics. 2015. Vol. 79, №. 1. P. 18-39.
4. Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, №2. — С. 379-436.
5. Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук // Минск: Наука и техника. — 1967. — 181 с.
6. Schmidt, W. M., Diophantine Approximation // Springer. 1980. P. 312.
7. Baker, A., Linear Forms in the Logarithms of Algebraic Numbers // I, Mathematika. 1966. Vol.12. P.204–216.
8. Beresnevich, V. V., On approximation of real numbers bv real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Vol. 90. P. 97-112.
9. Bernik, V. I., The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arith. 1989. Vol. 53, №. 1. P. 17-28.
10. Bernik, V. I., Dodson, M. M., Metric Diophantine Approximation on Manifolds // Cambridge University Press. 1999.
11. Bernik, V. Budarina, N., Dickinson, H., A divergent Khintchine theorem in the real, complex and p-adic fields // Lith. Math. J. 2008. Vol. 48. № 2., P. 158-173.
12. Bernik., V„ Budarina., N., Dickinson, H., Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2010. Vol. 149. № 2. P. 193-216.
13. Khintchine, A. Ya., Einige Satze uber Kcttenbriiche mit Anwvndungen auf die Theorie dear Diophan-tischen Approximationeii // Math. Ann. 1924. Vol. 92. P. 115-125.
14. Mahler, K., Uber das MaB der Menge aller S-Zahlen // Math. Ann. 1932. Vol. 106. P. 131-139.
15. Volkmann, B., Zur metrischen Theorie der S-Zahlen // J. reine und angew. Math. 1963. Vol. 213, № 1-2. P. 58-65.
Рецензия
Для цитирования:
Луневич А.В., Шамукова Н.В. Многочлены с малыми значениями в окрестностях корней в архимедовой и неархимедовой метриках. Чебышевский сборник. 2021;22(3):143-153. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-143-153
For citation:
Lunevich A.V., Shamukova N.V. Polynomials with small values in the neighborhoods of zeros in Archimedean and non-Archimedean metrics. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):143-153. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-143-153
Просмотров:
316
Послать статью по эл. почте 