Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О трёхмерных сетках Смоляка II

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-100-121

Полный текст:

Аннотация

Это вторая статья из серии, посвящённой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел к
задачам приближенного анализа.
В настоящей работе было показано, что для произвольной сетки Смоляка тригонометрическая сумма сетки Смоляка 𝑆𝑞(⃗0) = 1. Отсюда следует, что норма линейного
функционала приближенного интегрирования на классе 𝐸𝛼
𝑠 равна значению гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка. Показано, что гиперболическая дзета-
функция 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка является рядом Дирихле. Отсюда возникает вопрос об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смо-
ляка как функции произвольного комплексного 𝛼 = 𝜎 + 𝑖𝑡. Так как сетка Смоляка относится к числу рациональных сеток, то у неё, оказывается, существует аналитическое
продолжение гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка на всю комплексную плоскость, кроме точки 𝛼 = 1, в которой у неё полюс порядка 𝑠.
Из работы следует, что остаются открытыми следующие вопросы:
1. является ли нормальным линейный оператор 𝐴𝑞 взвешенных сеточных средних по сетке Смоляка при размерности 𝑠 > 3?
2. каковы истинные значения тригонометрических сумм 𝑆𝑞(𝑚1, . . . ,𝑚𝑠) сетки Смоляка при размерности 𝑠 > 3?

Об авторах

Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственный университет, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Россия

кандидат физико-математических наук



Дмитрий Викторович Горбачёв
Тульский государственный университет
Россия

доктор физико-математических наук



Валерий Иванович Иванов
Тульский государственный университет
Россия

доктор физико-математических наук, профессор



Список литературы

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3–18.

2. Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 193 с.

3. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н.

4. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. 284 с.

5. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н.

6. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012 Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.

7. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" . Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90–98.

8. Добровольская Л. П., М. Н. Добровольский, Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Реброва И.Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика.

9. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 47–52.

10. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25). С. 185–223.

11. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82–90.

12. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6090–84.

13. Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089–84.

14. Добровольский Н. М. О квадратурных формулах на классах 𝐸𝛼 𝑠 (𝑐) и 𝐻𝛼 𝑠 (𝑐) / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. № 6091–84.

15. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова. О гиперболической дзета-функции Гурвица, Чебышевский сб., 2016, том 17, вып. 3, С. 72—105.

16. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля // Чебышевский сборник 2015. Т. 16, вып. 4(56). С. 100–149.

17. Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: ТулГу, 2002. С. 18–20.

18. Добровольский Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. C. 56–67.

19. Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. Тула, 2001. С. 82–86.

20. Добровольский Н. Н. О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 6 𝑡 < 21 // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 91–95.

21. Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110–152.

22. Добровольский Н. Н. О тригонометрическом полиноме сетки Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 36–36.

23. Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6–18.

24. Добровольский Н. Н. Гиперболический параметр сеток с весами и его применение: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ имени М. В. Ломоносова, 2014.

25. Н. Н. Добровольский, Д. В. Горбачев, В. И. Иванов. О трёхмерных сетках Смоляка I // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 3, c. 193–219.

26. Киселёва О. В. О задаче Коробова для модифицированных сеток Смоляка // Чебышевский сборник, 2007. Т. 8, вып. 4(24). С. 50–104.

27. Коробов Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. № 6. С. 1062–1065.

28. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19–25.

29. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207–1210.

30. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009–1012.

31. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

32. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83–90.

33. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе (второе издание). М.: МЦНМО, 2004.

34. Реброва И. Ю., Чубариков В. Н., Добровольский Н. Н., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М. О классических теоретико-числовых сетках // Чебышевcкий сборник.

35. Т. 19, вып. 4, С. 118–176.

36. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148, № 5, С. 1042–1045.

37. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969.

38. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: И-Л, 1952. — 407 с.

39. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818–821.

40. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.

41. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел / М.: Изд-во "МИР" 1974.

42. Dobrovolskaya, L. P., Dobrovolsky, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovolsky, N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Distributed Systems. Solid

43. Mechanics and Its Applications. V. 211. 2014. P. 23–62.

44. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0_2

45. Faure H. Discrepance de suites associees a un systeme denumeration (en dimention s) // Acta Arith. 41. 1982. P. 337–351.

46. Halton J. H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals. // Numerische Math. 27. № 2 (1960), 84–90, Bd 2 № 2.

47. Hammersley J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems // Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.

48. Weyl H. ¨Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313– 352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).


Рецензия

Для цитирования:


Добровольский Н.Н., Горбачёв Д.В., Иванов В.И. О трёхмерных сетках Смоляка II. Чебышевский сборник. 2021;22(3):100-121. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-100-121

For citation:


Dobrovol’skii N.N., Gorbachev D.V., Ivanov V.I. About three-dimensional nets of Smolyak II. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):100-121. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-100-121

Просмотров: 142


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)