Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Формула обращения для рядов Дирихле и ее применение

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-57-76

Полный текст:

Аннотация

Метод контурного интегирования, применяемый для изучения асимптотики сумм коэффициентов рядов Дирихле, основан на формуле обращения. Она позволяет выразить
сумму коэффициентов через сумму ряда. Такой подход дает эффективные оценки при условии, что абсцисса абсолютной сходимости ряда 𝜎𝑎 > 1. В некоторых случаях при изучении арифметических функций у производящих рядов Дирихле эта величина меньше 1.
Например, такая ситуация возникает при изучении распределения значений функции 𝑑(𝑛), числа делителей 𝑛, в классах вычетов по некоторому модулю. Как правило, в этом случае применяется тауберова теорема Деланжа, которая дает только главный член асимптотики для частоты попаданий значений 𝑑(𝑛) в классы вычетов. Но производящие ряды обладают лучшими свойствами, чем необходимо для применения этой теоремы. Используя метод
контурного интегрирования можно получить более точные результаты. Но для этого необходима формула обращения, которая была бы эффективна для рядов с 𝜎𝑎 < 1.
В настоящей работе доказывается такая формула обращения, которая применяется для изучения распределения значений функции 𝑑(𝑛) в классах вычетов, взаимно простых с модулем. В. Наркевич с помощью теоремы Деланжа получил главный член асимптотики для частоты попаданий значений 𝑑(𝑛) в классы вычетов. Применение формулы обращения, доказанной в этой работе, позволило получить более точный результат.

Об авторах

Лариса Александровна Громаковская
Петрозаводский государственный университет
Россия

старший преподаватель



Борис Михайлович Широков

Россия

кандидат физико-математических наук, доцент



Список литературы

1. Прахар К. Распределение простых чисел (Мир, M., 1967).

2. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел, (Наука, М., 1975).

3. Narckiewicz W. On distribution of values of multiplicative functions in residue classes, Acta Arithm., 12 (3), 269 – 279 (1967).

4. Чанга М. Е. O числах, количество простых делитетелей которых принадлежит заданному классу вычетов, Изв. РАН, Серия матем., 83 (1), 192 –202 (2019).

5. Чанга М. Е. Методы аналитической теории чисел, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика М. — Ижевск, 2013, 228 с.

6. Фоменко О.М. Распределение значений мультипликативных функции по простому модулю, Записки науч. сем. ЛОМИ, 93 (6), 218 – 224 (1980).

7. Титчмарш Е. Теория функций (Наука, М., 1980).

8. Delange H. G´en´eralisation du th´eor`eme de Ikeara, Ann. Sci. Ecole norm. super. 71, 213 – 242 (1954).

9. Громаковская Л. А., Широков Б. М. Распределение числа бесквадратных делителей в классах вычетов, Изв. ВУЗов, Математика, 2020, № 3, с. 3 – 11

10. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел (Наука, М., 1972).

11. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра (Наука, М., 1976).

12. Ленг С. Алгебра (Наука, М., 1968).

13. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. (ФИЗМАТГИЗ, М., 1958).


Рецензия

Для цитирования:


Громаковская Л.А., Широков Б.М. Формула обращения для рядов Дирихле и ее применение. Чебышевский сборник. 2021;22(3):57-76. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-57-76

For citation:


Gromakovskaya L.A., Shirokov B.M. Inversion formula for Dirichlet series and its application. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):57-76. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-57-76

Просмотров: 87


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)