Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Инварианты Жордана — Кронекера борелевских подалгебр полупростых алгебр Ли

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-32-56

Полный текст:

Аннотация

В теории бигамильтоновых систем известна обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко. В гипотезе говорится о существовании полных наборов полиномиальных функций в инволюции относительно пары естественно возникающих пуассоновых структур на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Данная гипотеза тесно связана с методом сдвига аргумента, предложенным А. С. Мищенко и А.Т. Фоменко в [10]. В исследованиях, посвященных данной гипотезе, была обнаружена связь существования полного набора в биинволюции с алгебраическим типом пучка согласованных скобок Пуассона, заданного линейной и постоянной скобкой. Числа, описывающие алгебраический тип пучка скобок общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли, называются инвариантами Жордана–Кронекера алгебры Ли. Понятие инвариантов Жордана–Кронекера было введено А. В. Болсиновым
и P. Zhang в [2]. Для некоторых классов алгебр Ли (например, полупростых алгебр Ли и алгебр Ли малой размерности) инварианты Жордана–Кронекера удалось вычислить, но
в общем случае вопрос вычисления инвариантов Жордана–Кронекера для произвольной алгебры Ли является открытым. Задача вычисления инвариантов Жордана–Кронекера
часто упоминается среди наиболее интересных нерешенных задач теории интегрируемых систем [4, 5, 6, 11].
В статье вычислены инварианты Жордана–Кронекера для серии 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) и на каждой алгебре серии построены полные наборы полиномов в биинволюции. Также вычислены
инварианты Жордана–Кронекера для борелевских подалгебр 𝐵𝑠𝑜(𝑛) для любых 𝑛. Таким образом, вместе с результатами, полученными в [2] для 𝐵𝑠𝑙(𝑛), данная статья составляет решение задачи вычисления инвариантов Жордана–Кронекера борелевских подалгебр классических алгебр Ли.

Об авторе

Константин Сергеевич Ворушилов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия


Список литературы

1. Архангельский А. А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы на группе треугольных матриц // Матем. сб. 1979. Т. 108(150) №1. С.134-142.

2. Bolsinov A. V., Zhang P. Jordan–Kronecker invariants of finite-dimensional Lie algebras//Transform. Groups. 2016. Vol. 21 №1. P. 51-86.

3. Bolsinov A., Izosimov A., Kozlov I. Jordan–Kronecker invariants of Lie algebra representations and degrees of invariant polynomials // accepted by Transform. Groups. 2019.

4. https://arxiv.org/pdf/1407.1878

5. Болсинов А. В., Изосимов А. М., Коняев А. Ю., Ошемков А. А. Алгебра и топология интегрируемых систем. Задачи для исследования // Труды семинара по векторному и тензор-

6. ному анализу. 1012 T. 28. C.119-191.

7. Bolsinov A., Izosimov A., Tsonev D. Finite-dimensional integrable systems: A collection of research problems // Journal of Geometry and Physics, published online 16 November 2016,

8. http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.11.003

9. Bolsinov A. V., Matveev V. S., Miranda E., Tabachnikov S. Open Problems, Questions and Challenges in Finite-Dimensional Integrable Systems // Philos. Trans. R. Soc. A-Math. Phys. Eng. Sci. 2018. Vol. 376 №2131.

10. Bolsinov A. V. Complete commutative subalgebras in polynomial Poisson algebras: a proof of the Mischenko–Fomenko conjecture // Theor. Appl. Mech. 2016. Vol. 43 №2. P. 145-168.

11. Грозновa А.Ю. Вычисление инвариантов Жордана–Кронекера для алгебр Ли малых размерностей // выпускная квалификационная работа МГУ. 2018.

12. Короткевич А. А. Полные наборы полиномов на борелевских подалгебрах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2006. №5. С. 20-25.

13. Мищенко А. С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. 1978. Т. 42 №2. С. 396-415.

14. Rosemann S., Sch¨obel K. Open problems in the theory of finite-dimensional integrable systems and related fields // Journ. Geom. and Phys. 2015. Vol. 87. P. 396-414.

15. Thompson R. Pencils of complex and real symmetric and skew matrices // Linear Algebra Appl. 1991. Vol. 147. P. 323-371.

16. Трофимов В. В. Уравнения Эйлера на борелевских подалгебрах полупростых алгебр Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43 №3. С. 714-732.

17. Воронцов А. Кронекеровы индексы алгебры Ли и оценка степеней инвариантов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2011. Т. 66 №1. С. 26-30.

18. Vorushilov K. Jordan–Kronecker invariants for semidirect sums defined by standard representation of orthogonal or symplectic Lie algebras // Lobachevskii Journal of Mathematics.

19. Vol. 38 №6. P. 1121-1130.

20. Ворушилов К. С. Инварианты Жордана—Кронекера для полупрямых сумм вида 𝑠𝑙(𝑛) + (R𝑛)𝑘 и 𝑔𝑙(𝑛) + (R𝑛)𝑘 // Фундамент. и прикл. матем. 2019. Т. 22 №6. С. 3-18.


Рецензия

Для цитирования:


Ворушилов К.С. Инварианты Жордана — Кронекера борелевских подалгебр полупростых алгебр Ли. Чебышевский сборник. 2021;22(3):32-56. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-32-56

For citation:


Vorushilov K.S. Jordan–Kronecker invariants of Borel subalgebras of semisimple Lie algebras. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(3):32-56. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-3-32-56

Просмотров: 183


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)