Инварианты Жордана — Кронекера борелевских подалгебр полупростых алгебр Ли

Аннотация

В теории бигамильтоновых систем известна обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко. В гипотезе говорится о существовании полных наборов полиномиальных функций в инволюции относительно пары естественно возникающих пуассоновых структур на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Данная гипотеза тесно связана с методом сдвига аргумента, предложенным А. С. Мищенко и А.Т. Фоменко в [10]. В исследованиях, посвященных данной гипотезе, была обнаружена связь существования полного набора в биинволюции с алгебраическим типом пучка согласованных скобок Пуассона, заданного линейной и постоянной скобкой. Числа, описывающие алгебраический тип пучка скобок общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли, называются инвариантами Жордана–Кронекера алгебры Ли. Понятие инвариантов Жордана–Кронекера было введено А. В. Болсиновым
и P. Zhang в [2]. Для некоторых классов алгебр Ли (например, полупростых алгебр Ли и алгебр Ли малой размерности) инварианты Жордана–Кронекера удалось вычислить, но
в общем случае вопрос вычисления инвариантов Жордана–Кронекера для произвольной алгебры Ли является открытым. Задача вычисления инвариантов Жордана–Кронекера
часто упоминается среди наиболее интересных нерешенных задач теории интегрируемых систем [4, 5, 6, 11].
В статье вычислены инварианты Жордана–Кронекера для серии 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) и на каждой алгебре серии построены полные наборы полиномов в биинволюции. Также вычислены
инварианты Жордана–Кронекера для борелевских подалгебр 𝐵𝑠𝑜(𝑛) для любых 𝑛. Таким образом, вместе с результатами, полученными в [2] для 𝐵𝑠𝑙(𝑛), данная статья составляет решение задачи вычисления инвариантов Жордана–Кронекера борелевских подалгебр классических алгебр Ли.