Из истории понятия структурной устойчивости

Цель. Целью работы является изучение истории представлений о грубости (структурной устойчивости), которая является не только одним из важнейших понятий теории нелинейных систем, но лежит в основе нашего миропонимания. До настоящего времени структурная устойчивость рассматривалась в историческом плане лишь фрагментарно (главным образом, в связи со школой Андронова) и не являлась предметом последовательного исторического исследования. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ, историко-научной литературы с привлечением воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. В школе Андронова в контексте прикладных проблем исчерпывающим образом были изучены двумерные системы, для которых структурная
устойчивость является типичным свойством. С конца 1950-х гг. происходит смещение исследований структурной устойчивости в контексте прикладных проблем в сторону теории динамических систем. М. Пейксото изучил структурную устойчивость на замкнутых двумерных многообразиях и доказал плотность таких систем. С. Смейл выдвинул гипотезу о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае (𝑛 > 3). Такие системы существуют (системы Морса-Смейла), но он сам установил их нетипичность, они не составляют плотного множества. Для многомерных систем характерно сложное поведение,
был построен пример такой системы (подкова Смейла). Изучение систем со сложным поведением стимулировало развитие гиперболической теории. Обсуждение. Структурная
устойчивость явилась важным фактором открытия сложного поведения динамических систем уже в трехмерном случае, она продолжает играть значительную роль в современ-
ной теории динамических систем. Структурная устойчивость имеет общенаучное значение, сыграла ключевую роль в построении теории катастроф, она вышла за рамки теории динамических систем и самой математики, проникает в другие области науки, в том числе в гуманитарную сферу.

1. Том Р. Структурная устойчивость и морфогенез. М. : Логос, 2002. 280 с.

2. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987. 272 с.

3. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: РХД, 2000. 400 с.

4. Лаплас П.С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908. 206 с.

5. Молодший В.Н. О. Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX в. // Истор.-матем. исслед. 1978. Вып. 23. С. 32-55.

6. Liouville J. Remarques nouvelles sur l’´equation de Riccati // J. Math. Pures et Appl. 1841. P. 1-13, 36.

7. Bour J. Sur l’integration des ´equations diff´erentielles de la M´ecanique Analytic // J. Math. Pure et Appl. 1855. V. 20. P. 185-200.

8. Liouville J. Note `a l’occasion du memoire pr´ecident de M. Edmond Bour // J. Math. Pure et Appl. 1855. V. 20. P. 201-202.

9. Poincar´e H. Memoire sur les courbes d´efinies par une ´equations differentielle // J. Мath. Рure et Аppl. S´er. 3. 1881. V. 7. P. 375-422; 1882. V. 8. P. 251-296; S´er. 4. 1885. V. 1. P. 167-244; 1886. V. 2. P. 151-217.

10. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ,

11. 392 с.

12. Bohl P. ¨Uber Differentialungleichugen // J. f¨ur reine und angewandte Math. 1913. Bd. 144. S. 284-313.

13. Мышкис А.Д., Рабинович И.М. Математик Пирс Боль. Рига: Изд-во «Зинатне», 1965. 100 с.

14. Аносов Д.В. Грубые системы // Труды МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 59-93.

15. Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14. № 5. С. 247-252.

16. Пуанкаре А. Будущее математики// Вестн. опыт. физики и элем. математики. 1908. Вып. № 474. С. 405-410; № 475-476. С. 425-429; № 477. С. 473-483.

17. Kneser H. Regul¨are Karvenscharen auf den Ringfl¨achen // Math. Ann. 1924. V. 91. S. 135-154.

18. Peixoto M. M. Acceptance speech for the TWAS 1986 award in mathematics // The future of science in China and the third world. Singapore: World Sci., 1989. P. 600-614.

19. Andronov A.A. Les cycles limites de Poincar´e et la th´eorie des oscillations autoentretenues // Comp. Rend. 1929. T. 189. N 15. P. 559-561.

20. Бойко Е.С. Александр Александрович Андронов. М.: Наука, 1991. 256 с.

21. Немыцкий В.В. Московский топологический кружок за 10 лет // УМН. 1936. Вып. 2. С. 279-285.

22. Андронов А.А. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. С. 32-71.

23. Андронов А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.-Л.: ОНТИ, 1937. 519 с.

24. Minorsky N. Introduction to Nonlinear Mechanics. Ann-Arbor: J.W. Edvards, 1958. 476 p.

25. Andronov A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press,

26. 358 p.

27. Aubin D. Cultural History of Catastrophe and Chaos. Princeton, NJ: Universit´e de Princeton, D´epartement d’Histoire, 1998. 782 p.

28. Lefschetz S. Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Oscillations. US Office of Naval Research (August 15, 1946 – Sept. 30, 1959). Final Report.

29. Griffiths P., Spencer D., Whitehead G. Solomon Lefschetz. A biographical memoir .Washington D.C.: National Acad. Sci., 1992. 313 p.

30. De Baggis G.F. Dynamical systems with stable structure // Contribution to the Theory of Nonlinear Oscillations. Ed. Lefschetz S. 1952. V. 2. P. 37-59.

31. Dahan Dalmedico A. La renaissance des syst`emes dynamiques aux Etats-Unis apr`es la deuxieme

32. guerre mondiale // Suppl. Rendiconti dei circolo math. Palermo. 1994. Ser. II. V. 34. P. 133-166.

33. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

34. Whiney H. Singularities of mappings of Euclidean spaces // Ann. Math. 1955. V. 62. P. 374-410.

35. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Proc. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam. V. 1. P. 315-333. / То же в кн.: А.Н.Колмогоров.

36. Математика и механика. М.: Наука, 1985. С. 316-332.

37. Hunt B., Kaloshin V. Prevalence // Handbook of Dynamical Systems. V. 3. Ed. By H. Broer, F. Takens and B. Hasselblatt. Amsterdam: Elseiver, 2010. P. 43-88.

38. Аносов Д.В. Трансверсальность // Мат. энциклопед. Т. 5. М.: Сов. Энциклопедия, 1985. С. 415-416.

39. Thom R. Quelques proprieties globales des varites differentiables // Comm. Math. Helv. 1954. V. 28. P. 17-86.

40. Thom R. Un lemme sur les applications differentiables // Boletin de la Sociedad Math. Mexicana. 1956. V. 1. Ser. 2. P. 59-71.

41. Том Р., Левин Г. Особенности дифференцируемых отображений // Особенности дифференцируемых отображений. Под ред. В.И. Арнольда. М.: Мир, 1968. С. 8-101.

42. Peixoto M.M. Some Recollections of the Early Work of Steve Smale // From Topology to Computation: Proceedings of the Smalefest. Ed. by M.W. Hirsh, J.E. Marsden, M. Shub. N.Y.:

43. Springer-Verlag, 1993. P. 73-75.

44. Sotomayor J. Introduction: A few words about Mauricio M. Peixoto on his 80th birthday // II. S. Lefschetz, ed. Princeton, N.Y.: Princeton Univ. Press, 1952. p. 37-59; Comp. Appl. Math.

45. V. 20. N 1-2. P. 3-9.

46. Lefschetz S. Differential equations: geometric theory. N.Y.- L.: Interscience Publshers, 1957. 400 p.

47. Peixoto M. On structural stability // Ann. Math. 1959. V. 69. N 1. P. 199-222.

48. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. Вып. 1. М.: МЦНМО, 2000. С. 74-192.

49. Smale S. On how I can get started in dynamical systems // Smale S. The mathematics of time. N.Y.: Springer Verlag, 1980. P. 147-151.

50. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. V. 1. N 2. P. 101-120.

51. Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Учен. записки Горьков. ун-та. 1939. Вып. 12. С. 215-229.

52. Плисс В.А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе // Вест. ЛГУ. 1960. № 13. Вып. 3. С. 15-23.

53. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Отображение окружности на саму себя // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1961. Т. 25. № 1. С. 21-86.

54. Палис Ж.., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986. 301 с.

55. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds – a further remarks // Topology. 1963. V. 2. N 2. P. 179-180.

56. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Л.: ГИТТЛ, 1949. 552 с.

57. Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. V. 74. P. 199-206.

58. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Труды Межд. симпоз. по нелин. колебаниям. Киев 1961. Киев: АН УССР, 1963. С. 365-366.

59. Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 73. P. 747-817 / Рус. пер. в сб.: Математика. 1967. Т. 11. № 4. С. 107-112.

60. Smale S. Finding a Horseshoe on the Beaches of Rio // Chaos Avant-Garde. Singapore: World Sci., 2000. P. 7-22.

61. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: I. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜆𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜆𝑡 + 𝛼), k large // J. London Math. Soc. 1945. V. 20.

62. Part 3. N 79. P. 180-189.

63. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: II. The equation 𝑦 + 𝑘𝑓(𝑦, 𝑦) + 𝑔(𝑦, 𝑘) = 𝑝(𝑡) = 𝑝1(𝑡) + 𝑘𝑝2(𝑡); 𝑘 > 0, 𝑓(𝑦) > 1 // Ann. Math. 1947. V. 48. N 2. P. 472-494; 1949. V. 50. P. 504-505.

64. Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: III. The equation 𝑦 − 𝑘(1 − 𝑦2)𝑦 + 𝑦 = 𝑏𝜇𝑘𝑐𝑜𝑠(𝜇𝑡 + 𝛼) for large k, and its generalization // Acta Math. 1957. V.

65. N 3-4. P. 267-308.

66. Littlwood J.E. On the non-linear differential equations of the second order: IV. The general equation 𝑦 + 𝑘𝑓(𝑦)𝑦 + 𝑔(𝑦) = 𝑏𝑘𝑝(𝜙), 𝜙 = 𝑡 + 𝛼// Acta Math. 1957. V. 98. N 1-2. P. 1-110.

67. Littlwood J.E. On the number of stable periods of a differential equation of the Van der Pol type, JRE Trans. Circuit Theory. 1960 V. 7. N 4. P. 535-542.

68. Levinson N. A second order differential equation with singular solutions // Ann. Math. 1949. V. 50. N 1. P. 126-153.

69. Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. V. 73. P. 747-817.

70. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Математические события ХХ века. М.: Фазис, 2003. С. 1-18.

71. Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. Т. 145. № 4. С. 707-709.

72. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН. М.: Наука, 1967. С. 3-209.

73. Ильяшенко Ю.С. Аттракторы динамических систем и философия общего положения // Матем. просв. 2008. Вып. 12. С. 13-22.

74. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. V. 20. P. 167-192 / Рус. пер. в кн.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117-151.

75. Арнольд В.И. Теория катастроф // Совр. проблемы математики. Фунд. направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. С. 219-277

76. Hadamard J. Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Differential Equations. New Haven, 1923. 316 p.

77. Mira C. Some historical aspects of nonlinear dynamics: possible trends for the future // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. V. 7. N 9. P. 2145-2173.

78. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

79. Thom R. Topological models in biology // Topology. 1969. V. 8. N 3. P. 313-335.

80. Thom R. Catastrophe theory: Its present state and future perspectives // Dynamical systems. Berlin: Springer-Verlag, 1974. P. 366-372.

81. Aubin D. From catastrophe to chaos: the modelling practices of applied topologists // Changing images of math. Ed. by U. Bottazzini and A. Dahan Dalmedico. L.-N.Y.: Routledge, 2001. P.

82. -279.

83. Алескеров Ф.Т. и др. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте (1905- 1917 и 1993-2005 гг.). М.: Физматлит, 2007. 309 с.