Аналог теоремы А. Ордина для параллелоэдров

Аннотация

Параллелоэдр - это выпуклый многогранник в аффинном пространстве, сдвиги которого на векторы некоторой дискретной решетки $L$ заполняют все пространство без зазоров и пересечений по внутренним точкам. Частным случаем параллелоэдра является ячейка Дирихле-Вороного решетки относительно метрики, порожденной положительной квадратичной формой. Более 100 лет назад Г. Вороной предположил, что всякий параллелоэдр есть ячейка Дирихле-Вороного своей решетки относительно некоторой метрики.

А. Ордин ввел понятия неприводимой грани и $k$-неприводимого параллелоэдра, у которого все грани коразмерности $k$ неприводимы. Разбиение на параллелоэдры называется $k$-неприводимым, если его параллелоэдры $k$-неприводимы. Он доказал гипотезу Вороного для 4-неприводимого параллелоэдров.

С каждой фасетой $F$ параллелодра связано два вектора: {\em фасетный} вектор $l_F$ решетки $L$ разбиения $\mathcal T$ на параллелоэдры и {\em нормальный} вектор $p_F$ фасеты $F$. Фасетные векторы целочисленно порождают решетку $L$. Одна из форм знаменитой гипотезы Вороного утверждает, что существуют такие параметры $s(F)$, что нормированные ({\em канонические}) нормальные векторы $s(F)p_F$ целочисленно порождают решетку $\Lambda$. В этой статье определяются {\em однозначно нормируемые} грани $G$ как грани, определяющие однозначно с точностью до общего множителя параметры $s(F)$ всех фасет разбиения $\mathcal T$, содержащих грань $G$. Разбиение, все грани которого коразмерности $k$ однозначно нормируемы, $k$-неприводимо.

Доказывается следующий аналог теоремы А. Ордина: каноническая нормировка фасет разбиения $\mathcal T$ существует, если для некоторого целого $k\ge 1$ все его грани коразмерностей $k$ и $k+1$ однозначно нормируемы. Случаи $k=2$ и $k=3$ соответствуют 2- и 3-неприводимым разбиениям, в смысле А. Ордина.