К оценке эффективных механических характеристик преднапряженных пористых нелинейно-упругих материалов в рамках теории многократного наложения больших деформаций с имплементацией в промышленный пакет «Фидесис»: двумерный случай

В статье приведены метод и численный алгоритм для оценки эффективных нелинейно-упругих характеристик пористого материала при конечных деформациях. Подход описан для двумерного случая и основан на численном решении краевых задач нелинейной теории упругости на представительной площади пористого материала либо на его ячейке периодичности. Используются основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций. Краевые задачи решаются с использованием нелинейного расчётного ядра российского инженерного программного комплекса «Фидесис». В случае моделирования материала регулярной структуры к его прямоугольной ячейке прикладываются периодические граничные условия в виде наложения связей на перемещения противоположных сторон. Эффективные свойства оцениваются в виде квадратичной зависимости тензора обобщённых напряжений от тензора деформаций. Проведены две серии расчётов эффективных характеристик: для пористой меди и пористой резины. Исследовано влияние порового давления на эффективные модули первого и второго порядка. Показано, что модули упругости второго порядка значительно зависят от приложенного давления.
Сделан вывод о необходимости учёта внутреннего давления в пористом материале при моделировании его нелинейного деформирования.

1. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. Vol. 11. P. 357–372.

2. Voigt W. Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticit¨atsconstanten isotroper K¨orper // Annalen der Physik. 1889. Vol. 274. №12. P. 573–587.

3. Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizit¨atsbedingung f¨ur Einkristalle // Zeitschrift f¨ur Angewandte Mathematik und Mechanik. 1929. Vol. 9. P. 49–58.

4. Hashin Z., Shtrikman S. On some variational principles in anisotropic and nonhomogeneous elasticity // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1962. Vol. 10. P. 335–342.

5. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behavior of multiscale materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. Vol. 11. P. 127–140.

6. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М., «Мир», 1982. – 334 с.

7. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.: Издательство Московского университета, 1984. – 335 с.

8. Nemat-Nasser S, Hori M. Micromechanics: Overall properties of heterogeneous materials // Elsevier, Amsterdam. 1999. P. 812.

9. Budiansky B. On the elastic moduli of some heterogeneous materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. Vol. 13. №4. P. 223-227.

10. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. Vol. 13. №4. P. 213-222.

11. Wu T.T. The effect of inclusion shape on the elastic moduli of a two-phase material // International Journal of Solids and Structures. 1966. Vol. 2. №1. P. 1-8.

12. Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average energy of materials with misfitting inclusions // Acta Metallurgica. 1973. Vol. 21. P. 571-574.

13. Roscoe R. The viscosity of suspensions of rigid spheres // British Journal of Applied Physics. 1952. Vol. 3. №8. P. 267-269.

14. Norris A.N. A differential scheme for the effective moduli of composites // Mechanics of Materials. 1985. Vol. 4. №1. P. 1-16.

15. Berryman J.G., Pride S.R., Wang H.F. A differential scheme for elastic properties of rocks with dry or saturated cracks // Geophysical Journal International. 2002. Vol. 151. №2. P. 597-611.

16. Dabrowski M., Schmid D.W., Podladchikov Y.Y. A two-phase composite in simple shear: Effective mechanical anisotropy development and localization potential // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 2012. Vol. 117. №B8. Article ID: B08406.

17. Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. - Петрозаводск: Издательство Петрозаводского государственного университета, 1993. - 600 с.

18. Needleman A. Void Growth in an Elastic-Plastic Medium // Journal of Applied Mechanics. 1972. Vol. 39. №4. P. 964-970.

19. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. – М., «Наука», 1984. – 352 с.

20. Milton G.W. The Theory of Composites // Cambridge University Press, Cambridge. 2002. P. 745.

21. Ponte Casta˜neda P., Nebozhyn M.V. Variational estimates of the self-consistent type for the effective behavior of some model nonlinear polycrystals // Proceedings of the Royal Society A. 1997. Vol. 453. P. 2715–2724.

22. Ponte Casta˜neda P., Willis J. R. Variational second-order estimates for nonlinear composites // Proceedings of the Royal Society A. 1999. Vol. 455. P. 1799–1811.

23. Smit R.J.M., Brekelmans W.A.M., Meijer H.E.H. Prediction of the mechanical behavior of nonlinear heterogeneous systems by multi-level finite element modeling // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 1998. Vol. 155 №1–2. P. 181–192.

24. Tsukrov I., Kachanov M. Effective Moduli of an Anisotropic Material with Elliptical Holes of Arbitrary Orientational Distribution // International Journal of Solids and Structures. 2000. Vol. 37. №41. P. 5919-5941

25. Tsukrov I., Novak J. Effective Elastic Properties of Solids with Defects of Irregular Shapes // International Journal of Solids and Structures. 2002. Vol. 39. №6. P. 1539-1555.

26. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Об одном способе оценки эффективных характеристик пористых тел при конечных деформациях // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. 1997. №4. С. 45-50.

27. Левин В.А., Зингерман К.М. О построении эффективных определяющих соотношений для пористых упругих материалов при конечных деформациях и их наложении // Доклады РАН. 2002. Т. 382. №4. С. 482–487.

28. Levin V., Markov M., Kanaun S. Effective field method for seismic properties of cracked rocks // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 2004. Vol. 109(B8). Article ID 2003JB002795. Режим доступа: https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1029/2003JB002795

29. Kachanov M., Sevostianov I. On quantitative characterization of microstructures and effective properties // International Journal of Solids and Structures. 2005. Vol. 42. P. 309-336.

30. Шешенин С.В., Демидович П.Н., Чистяков П.В., Бахметьев С.Г. Определяющее соотношение резинокорда при трёхмерном напряжённом состоянии // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика. Механика. 2010. №3. С. 32–35.

31. Шешенин С.В., Ду И. Две модели резинокордного слоя // Механика композиционных материалов и конструкций, т. 27, №2, 2021. – С. 191–204.

32. Шешенин С.В., Ду И. Гомогенизация резинокордного слоя при умеренно больших деформациях // Механика композитных материалов, т. 57, №3, 2021. – С. 275–286.

33. Шешенин С.В., Ду И., Чистяков П.В., Артамонова Н.Б. Моделирование резинокордных слоев при квазистатическом нагружении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета, №4, 2021. – С. 49–59.

34. Tsukrov I., Bayraktar H., Giovinazzo M., Goering J., Gross T., Fruscello M., Martinsson L. Finite element modeling to predict cure-induced microcracking in three-dimensional woven composites // International Journal of Fracture. 2011. Vol. 172. P. 209–216.

35. Yarushina V.M., Podladchikov Y.Y.,Wang L.H. Model for (De)Compaction and PorosityWaves in Porous Rocks Under Shear Stresses // Journal of Geophysical Research: Solid Earth. 2020. Vol. 125(8). Article ID e2020JB019683.

36. Режим доступа: https://agupubs.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/2020JB019683

37. Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Yakovlev M.Ya. Numerical analysis of effective mechanical properties of rubber-cord composites under finite strains // Composite Structures. 2015. Vol. 131. P. 25–36.

38. Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M., Shoychakov A.M., Yakovlev M.Ya. Software for estimation of second order effective material properties of porous samples with geometrical and physical nonlinearity accounted for // Advances in Engineering Software. 2015. Vol. 86. P. 80–84.

39. Коновалов Д.А., Яковлев М.Я. О численной оценке эффективных упругих характеристик эластомерных композитов при конечных деформациях с использованием метода спектральных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышевский сборник, т. 18, №3, 2017. – С. 316–329.

40. Yakovlev M.Y., Lukyanchikov I.S., Levin V.A., Vershinin A.V., Zingerman K.M. Calculation of the effective properties of the prestressed nonlinear elastic heterogeneous materials under finite strains based on the solutions of the boundary value problems using finite element method // Journal of Physics: Conference Series. 2019. P. 1158.

41. Yakovlev M.Ya., Bystrov I.D., Zingerman K.M., Levin V.A. Numerical simulation of the pore pressure influence on the effective mechanical properties of rocks using CAE fidesys // AIP Conf. Proc. 2022. Vol. 2509 (1): 020209. https://doi.org/10.1063/5.0084834

42. Yakovlev M.Ya., Yarushina V.M., Bystrov I.D., Nikitin L.S., Podladchikov Yu.Yu. Benchmarking effective moduli in porous elastoplastic materials // International Journal of Mechanical Sciences. 2025. Vol. 306. ISSN 0020-7403. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2025.110854.

43. Levin V.A., Vdovichenko I., Vershinin A.V., Yakovlev M.Y., Zingerman K.M. Numerical Estimation of Effective Mechanical Properties for Reinforced Plexiglas in the Two-Dimensional Case // Modelling and Simulation in Engineering. 2016. Vol. 2016. Article ID 9010576. P. 10.

44. Левин В.А., Зингерман К.М., Яковлев М.Я., Курденкова Е.О., Немтинова Д.В. О численной оценке эффективных характеристик периодических ячеистых структур с использованием балочных и оболочечных конечных элементов с помощью CAE Fidesys // Чебышёвский сборник, т. 20, №2, 2019. – С. 528–541.

45. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 272 с.

46. Левин В.А. Нелинейная вычислительная механика прочности: цикл монографий в 5 томах / под ред. В. А. Левина. Модели и методы. Образование и развитие дефектов / В. А. Левин. — Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2015-, 2015. — 453 с. : ил., табл..; ISBN 978-5-9221-1570-4.

47. Яковлев М.Я., Елфимов Н.С., Левин В.А. Моделирование нелинейной эффективной теплопроводности с использованием программного комплекса «Фидесис» // Чебышевский сборник, т. 25, №4, 2024. – С. 308–328.

48. Karch C. Micromechanical analysis of thermal expansion coefficients // Modeling and Numerical Simulation of Material Science. 2014. Vol. 4, № 3. P. 70–75.

49. Официальный сайт ООО «Фидесис» [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://caefidesys.com/

50. Kukushkin A.V., Konovalov D.A., Vershinin A.V., Levin V.A. Numerical simulation in CAE Fidesys of bonded contact problems on non-conformal meshes // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1158(2). Article ID 032022.