ОБ ОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ p-ГРУПП И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-323-338
Аннотация
Некоторые хорошо известные классические результаты, относящиеся к описанию целочисленных представлений конечных групп над дедекиндовыми кольцами R, в частности, для колец целых чисел Z и p-адических чисел Zp и максимальных порядков локальных полей и полей алгебраических чисел берут начало в классических работах С. С. Рышкова, П. М. Гу- дивка, А. В. Ройтера, А. В. Яковлева, В. Плескена. Для их явного опи- сания важно найти матричные реализаций представлений, и один из возможных подходов состоит в описании максимальных конечных подгрупп GLn(R) над дедекиндовым кольцом R при фиксированном натуральном n. Основная идея, лежащая в основе геометрического подхода, была приведена в работах С. С. Рышкова по вычислению конечных подгрупп из GLn(Z) и дальнейших работах М. Поста и В. Плескена. Тем не менее, было неясно, что происходит при расширении дедекиндова кольца R в общем случае, и в случаях представлений произвольных p-групп, сверхразрешимых групп или групп заданного класса нильпотентности. В настоящей работе изучаются представления вышеуказанных классов групп, в частности, доказано, что при фиксированном n и любой заданной неабелевой p-группы G существует бесконечное число попарно неизоморфных абсолютно неприводимых представлений группы G. Комбинаторная конструкция серии этих представлений получена в явном виде. В настоящей работе построена бесконечная цепочка целочисленных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечных p-групп с дополнительными условиями сравнимости по модулю дивизоров простого числа p. Мы рассматриваем некоторые связанные нашей конструкцией вопросы, включая задачи погружения в теории Галуа для локальных точных примитивных представлений сверхразрешимых групп и целочисленные представления, возникающие из эллиптических кривых.
Ключевые слова
Список литературы
1. M. Bacon, L. C. Kappe The nonabelian tensor square of a 2-generator p-group of class 2 // Arch. Math. 1993. Vol. 61. P. 508–516.
2. A. Ahmad, A. Magidin, R. Morse Two generator p-groups of nilpotency class 2 and their conjugacy classes // Publ. Math. Debrecen. 2012. Vol. 81, № 1-2. P. 145–166.
3. V. Cepulic, O. S. Pyliavska A class of nonabelian nonmetacyclic finite 2-groups // Glasnik matematicki. 2006. Vol. 41(61). P. 65–70.
4. Ch. Curtis, I. Reiner Representation theory of finite groups and associative algebras. Reprint of the 1962 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2006. xiv+689 pp. ISBN: 0-8218-4066-5
5. F. Destrempes Deformations of Galois representations: the flat case. Seminar on Fermat’s Last Theorem (Toronto, ON, 1993–1994), p. 209–231, Canad. Math. Soc. Conf. Proc., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995. Vol. 17. P. 209–231.
6. Deuring, Max Algebren. (German) Zweite, korrigierte auflage. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 41 Springer-Verlag, BerlinNew York 1968. viii+143 pp.
7. D. K. Faddeev On generalized integral representations over Dedekind rings // J. Math. Sci. (New York). 1998. Vol. 89, no. 2. P. 1154–1158.
8. Д. К. Фаддеев Таблицы основных унитарных представлений федоровских групп // Тр. МИАН СССР. 1961. Т. 56. С. 3–174.
9. Д. К. Фаддеев Введение в мультипликативную теорию модулей цело- численных представлений // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 80. С. 145–182.
10. В. В. Ишханов, Б. Б. Лурье Задача погружения с неабелевым ядром для локальных полей // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2009. Т. 365. С. 172– 181.
11. I. M. Isaacs Character Theory of finite groups. Pure and Applied Mathematics, No. 69. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976. xii+303 pp.
12. V. V. Ishkhanov, B. B. Lurje, D. K. Faddeev The Embedding Problem in Galois Theory. Volume 7; Transl. Math. Monographs, AMS. 1997. Vol. 165.
13. W. Knapp, P. Schmidt An extension theorem for integral representations // J. Austral. Math. Soc. (Ser. A). 1997. Vol. 63. P. 1–15.
14. L. C. Kappe, N. Sarmin, M. Visscher Two-generator 2-groups of class two and their nonabelian tensor squares // Glasgow Math. J. 1999. Vol. 41. P. 417–430.
15. В. А. Колывагин Формальные группы и символ норменного вычета // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43, № 5. С. 1054–1120 (=Math. USSR Izvestija, 1980, vol. 15(2), p. 289–348.)
16. H. Koch Classification of the primitive representations of the Galois group of local fields // Inventiones Math. 1977. Vol. 40. P. 195–216.
17. D. A. Malinin, F. Van Oystaeyen Realizability of two-dimensional linear groups over rings of Integers of algebraic number fields // Algebras and Representation Theory. 2011. Vol. 14, nr. 2. P. 201–211.
18. Д. А. Малинин Целочисленные представления конечных групп, устойчивые при действии группы Галуа // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 3. С. 106–145.
19. Д. А. Малинин Целочисленные представления p-групп заданного класса нильпотентности над локальными полями // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, № 1. С. 58–67.
20. F. Van Oystaeyen, A. E. Zalesski˘ı Finite groups over arithmetic rings and globally irreducible representations // J. Algera. 1999. Vol. 215. P. 418–436.
21. L. Redei Das schiefe Produkt in der Gruppentheorie // Comment. Math. Helvet. 1947. Vol. 20. P. 225—267.
22. L. Redei Endliche p-Gruppen. Budapest: Akademiai Kiado. 1989.
23. J. F. Rigby Primitive linear groups containing a normal nilpotent subgroup larger than the centre of the group // J. London Math. Soc. 1960. Vol. 35. P. 389–400.
24. J.-P. Serre Three letters to Walter Feit on group representations and quaternions // J. Algebra. 2008. Vol. 319, nr. 2. P. 549–557.
25. Song Qiangwei Finite two-generator p-groups with cyclic derived group // Communications in Algebra. 2013. Vol. 41, no 4. P. 1499–1513.
26. А. В. Яковлев Задача погружения полей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. Т. 28, № 3. С. 645–660.
27. С. П. Демушкин, И. Р. Шафаревич Задача погружения для локальных полей // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23, № 6. С. 823–840.
Рецензия
Для цитирования:
Малинин Д.А. ОБ ОДНОЙ КОНСТРУКЦИИ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ p-ГРУПП И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ. Чебышевский сборник. 2015;16(3):323-338. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-323-338
For citation:
Malinin D. ONE CONSTRUCTION OF INTEGRAL REPRESENTATIONS OF p-GROUPS AND SOME APPLICATIONS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(3):323-338. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-3-323-338
Просмотров:
430
Послать статью по эл. почте 