Определение упругих констант на основе решения задачи Ламе

Представлены двухконстантные формы связей между напряжениями и деформациями
нелинейно-упругих изотропных материалов. Такого рода материалы могут использоваться для гашения колебаний строительных конструкций при динамических воздействиях (землетрясения, ударные волны при взрывах). Свободная энергия рассматриваемых соотношений представляется функцией алгебраических инвариантов тензора деформаций Коши-Грина либо естественных инвариантов «левого» тензора деформаций Генки. Разработана методика определения констант представленных связей между напряжениями и деформациями. Предлагаемая методика основана на анализе экспериментальных зависимостей окружных деформаций на внешней и внутренней поверхностях от приложенного
внутреннего давления и решениях задачи Ламе для полого цилиндра в плоском деформированном состоянии. Показано, что конкретизация приведенных определяющих соотношений возможна на основе выделения линейного участка экспериментальных зависимостеи построения теоретических зависимостей в предположении малости деформаций. Таким образом, следующие за линейным участком данные могут быть использованы для конкретизации модулей упругости третьего порядка определяющих соотношений, построенных на основе рассмотренных. Следовательно, изложенную в работе методику можно также
рассматривать как частичное решение задачи конкретизации связей между напряжениями и деформациями, включающих модули упругости третьего порядка. Для представленных экспериментальных данных показано, что результаты конкретизации по выдвинутой методике соответствуют определенным с помощью классического эксперимента на растяжение модулям упругости. Приведенная методика может использоваться как непосредственно, так и с целью минимизации числа экспериментов в задачах конкретизации определяющих значений нелинейной теории упругости.

1. Rajagopal K. R., Rodriguez C., A mathematical justification for nonlinear constitutive relations between stress and linearized strain // Mathematical Physics. 2024; DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.2405.20977

2. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 г. – 512 с.

3. Муравлев А.В. О представлении упругого потенциала в обобщенном пространстве деформаций А.А. Ильюшина // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 99-102.

4. Bustamante R., Rajagopal K. R. A new type of constitutive equation for nonlinear elastic bodies. Fitting with experimental data for rubber-like materials // Proceedings of the Royal Society A. 2021. Vol. 477. № 2252. P. 1–16; DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.2021.0330

5. Pr˚uˇsa V., Rajagopal K.R., T˚uma, K. Gibbs free energy based representation formula within the context of implicit constitutive relations for elastic solids // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2020. vol. 121; DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2020.103433

6. Montella G., Govindjee S., Neff P. The exponentiated Hencky strain energy in modelling tire derived material for moderately large deformations // Journal of Engineering Materials and Technology, Transaction of the ASME. 2015; DOI: https://doi.org/10.1115/1.4032749

7. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика, 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594

8. Markin, A.A., Sokolova, M.Y. Variant of Nonlinear Elasticity Relations // Mechanics of Solids. 2019. Vol. 54. P. 1182–1188; DOI: https://doi.org/10.3103/S0025654419080089

9. Нгуен Ш.Т. Идентификация параметров квадратичной модели упругого анизотропного материала / Ш.Т. Нгуен, Д.В. Христич // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния, 2021. № 3 (49). С. 3–11; DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.49.3.001

10. Минин С.И. Определение модулей упругости третьего порядка для измерения напряженно-деформированного состояния металла элементов конструк-ций АЭС. // Известия вузов. Ядерная энергетика, 2018. № 1. С. 15-22; DOI: https://doi.org/10.26583/npe.2018.1.02

11. Ф. Е. Гарбузов, А. М. Самсонов, А. А. Семенов, А. Г. Шварц, Определение упругих модулей 3-го порядка по параметрам объемных солитонов деформации // Письма в ЖТФ, 2016. Т. 42. Вып 3. С. 16–22.

12. Карабутов А. А., Подымова Н. Б., Черепецкая Е. Б. Измерение зависимости локального модуля Юнга от пористости изотропных композитных материа-лов импульсным акустическим методом с использованием лазерного источника ультразвука // Прикладная механика и техническая физика, 2013. № 3 (54). С. 181—190.

13. Маркин А. А. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е изд., доп. / А. А. Маркин, Д. В. Христич. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. – 92 с.

14. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях // Проблемы механики деформируемого твердого тела. Межвузов. сб. трудов / Калинин. политех. ин-т. Калинин: Изд-во КГУ. 1986. С. 49-57.

15. Гузь А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. – К.: Наук. думка, 1973. – 270 с.

16. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid. John Wiley & Sons, New York. 1951. 140 p.

17. Шишкин А.В. Исследование физических свойств материалов. В 4 ч. Ч. 4.1. Испытания на растяжение : учеб.-метод. пособие / О.С. Дутова; А.В. Шишкин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2012. – 64 с; ISBN 978-5-7782-1970-0

18. Козлов В. В. Вопросы конкретизации определяющих соотношений нелинейной теории упругости на основе рассмотрения одноосного однородного растяжения / В.В. Козлов, А.А. Маркин // Известия ТулГУ. Естественные науки – Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 4. С. 137–143

19. Седов Л. И. Механика сплошной среды : учебник для вузов. Т. 2. / Седов Л. И.; МГУ им. М. В. Ломоносова. 6-е изд. – СПб.: Лань, 2004. – 560 с; ISBN: 5-8114-0542-1

20. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды: Учебник / А.А. Ильюшин 3-е изд. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 310 с.

21. Маркин А. А. Механика сплошной среды: Учеб. пособие / А. А. Маркин, К. Ю. Сотников. – Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. – 132 с; ISBN: 5-7679-0476-6 : 36.00