Связь между решениями линейных диофантовых уравнений при действиях группы подстановок и группы автоморфизмов целых чисел

Аннотация

В статье показано, что между действиями симметрической группы 𝑆𝑛 подстановок
на множестве линейных диофантовых уравнений и на множестве их решений существует прямая связь.
Так, удалось установить, что при перестановке коэффициентов линейного диофантова
уравнения координаты его вектора общего решения переставляются в том же порядке, а при перестановке переменных — в обратном порядке.
Аналогичная связь имеется и между действиями группы автоморфизмов целых чисел
на множестве линейных диофантовых уравнений и их решений: если какие-либо коэффициенты в уравнении заменить на им противоположные, то соответствующие по порядку следования координаты его вектора общего решения также заменятся на им противоположные.
Были также получены результаты, которые касаются связи разных действий группы
подстановок на множестве линейных диофантовых уравнений. Например, перестановка коэффициентов уравнения означает перестановку его неизвестных в обратном порядке.
Установленные связи между действиями позволяют на практике быстрее находить ре-
шения целого класса линейных диофантовых уравнений, зная решение всего одного его представителя. В свою очередь, изучение действий других групп на данном множестве и связей, порожденных ими, позволит расширить этот класс.