Представление субгармонических функций в полукольце и в полукруге

Работа содержит в себе результаты, в которых даются представления субгармонических функций на наиболее упоминаемых множествах в полуплоскости — полукольце и
полукруге. Классическими результатами в этом направлении являются, например, формулы Неванлинны, Пуассона — Иенсена и Симидзу — Альфорса о представлении мероморфной функции в замкнутом круге и в замкнутом полукруге, а также теорема Рисса — Мартина о представлении субгармонических функций. В работах Т. Карлемана (1933) и Б. Я. Левина (1941) для функций, аналитических и мероморфных в замыкании полукольца и в замыкании полукруга на комплексной плоскости, были получены формулы, связывающие логарифм модуля функции с расположением её нулей и полюсов. Эти формулы нашли многочисленные приложения в теории целых и мероморфных функций. Независимо друг от друга Дж. Ито и А. Ф. Гришин (1968) распространили формулы Левина и Карлемана на функции субгармонические в открытом полукруге. Заметим, однако, что
формулы А. Ф. Гришина с использованием функции Мартина, на наш взгляд, являются более наглядными и удобными для практического применения. Кроме того, А. Ф. Гришин
сформулировал (без доказательства) теорему о представлении субгармонической функции в полуоткрытом полукольце. Н. В. Говоров (1968) распространил формулы Левина и Карлемана на функции аналитические в полузамкнутом полукруге и в полузамкнутом полукольце. Под выражением "полузамкнутое множество"мы понимаем множество на комплексной плоскости, часть границы которого принадлежит множеству, а остальная
часть границы ему не принадлежит. В частности, под полузамкнутым полукольцом или полузамкнутым полукругом в верхней полуплоскости комплексного переменного мы понимаем полукольцо или полукруг, пересечение границы которого с вещественной осью не принадлежит данному множеству.
В статье мы распространяем формулу Гришина на субгармонические функции в открытом полукольце. Мы вводим понятие полной меры субгармонической функции в открытом
полукольце, которое обобщает понятие полной меры в смысле Гришина. Благодаря этому получается наиболее простое по форме и при наименьших ограничениях на функцию представление субгармонической функции в открытом полукольце.

1. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука, 1970. 157 с.

2. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

3. Гольдберг А.А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 с.

4. Гришин А. Ф. Субгармонические функции конечного порядка. Дисс. док. физ.-мат. наук. Харьков, 1992. 434 c.

5. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций. I // Матем., Физ., Анализ, Геом. 1994. Т. 1, № 2. С. 193–215.

6. Гришин А. Ф. Непрерывность и асимптотическая непрерывность субгармонических функций. II // Матем., Физ., Анализ, Геом. 1995. Т. 2, № 2. С. 177–193.

7. Левин Б. Я. О функциях голоморфных в полуплоскости // Труди Одесского державного ун-та. 1941. Т. 3. С. 5–14.

8. Привалов И.И. Субгармонические функции. Москва, Ленинград: ГРТТЛ, 1937. 199 с.

9. Brelot M. On topologies and boundaries in potential theory. Berlin–Heidelberg–New York: Springer, 1971. 224 p.

10. Carleman T. Sur une in´egalit´e diff´erentielledans la th´eorie des fonctions analtiques // C. r. Acad. Sci. 1933. Vol. 196. P. 995–997.

11. Fedorov M. A., Grishin A. F. Some Questions of the Nevanlinna Theory for the Complex Half-Plane // Mathematical Physics, Analysis and Geometry. 1998. Vol. 1, No 3. P. 1–49.

12. Govorov N. V. Riemann’s Boundary Problem with Infinite Index. Basel–Boston–Berlin: Birk¨auser, 1994. 263 p.

13. Grishin A. F., Malyutina T. I. Subharmonic Functions Satisfying the Local Levin Condition // Israel Mathematical Conference Proceedings. 2001. Vol. 15. P. 137–147.

14. Hayman W. K., Kennedy P. B. Subharmonic Functions. Volume I. London New York San Fracisko: Academic Press, 1976. 284 p.

15. Ito Jun-Iti. Subharmonic functions in a half-plane // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 129, No 3. P. 479–499.

16. Koosis P. Introduction to Hp Spaces. Cambridge: Cambridge university press, 1998. 295 p.

17. Levin B.Ya. Distribution of Zeros of Entire Functions. English revised edition Amer. Math. Soc.: Providence, RI, 1980. 523 p.

18. Malyutin K. G. The problem of multiple interpolation in the half-plane in the class of analytic functions of finite order and normal type // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 1994. Vol. 78, No 1. P. 253-266.

19. Malyutin K. G. On sets of regular growth of functions in a half-plane. I // Izvestija RAN. Mathematics. 1995. Vol. 59, No 4. P. 125–154.

20. Malyutin K. G. On sets of regular growth of functions in a half-plane. II // Izvestija RAN. Mathematics. 1995. Vol. 59, No 5. P. 103–126.

21. Malyutin K. G. Fourier series and 𝛿-subharmonic functions of finite 𝛾-type in a half-plane // Sb. Math. 2001. Vol. 192, No 6. P. 843–861.

22. Malyutin K. G., Sadik N. M. Presentation of subharmonic functions in a half-plane // Russian Acad. Sci. Sb. Math. 2007. Vol. 198, No 12P. 47–62.

23. Malyutin K. G., Kabanko M. V., Malyutina T. I. Integrals and indicators of subharmonic functions. I // Chebyshevskii sbornik. 2018. Vol. 19, No 2. P. 272–303.

24. Malyutin K. G., Kabanko M. V., Malyutina T. I. Integrals and indicators of subharmonic functions. II // Chebyshevskii sbornik. 2019. Vol. 20, No 4. P. 236–269.

25. Malyutin K. G., Gusev A. L. The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane // Probl. Anal. Issues Anal. 2018. Vol. 7, No 25, Special Issue. P. 113–123.

26. Malyutin K. G., Gusev A. L. The interpolation problem in the spaces of analytical functions of finite order in the half-plane // Probl. Anal. Issues Anal. 2019. Vol. 8, No 26. P. 96–104.

27. Malyutin K. G., Kabanko M. V. Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, No 11. P. 2211–2222.

28. Malyutin K. G., Kabanko M. V., Kozlova I. I. Multiple Interpolation by the Functions of Finite Order in the Half-Plane. II // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2021. Vol. 42, No 4. P. 811–822.

29. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport а la thйorie du potentiel // Acta Math. 1926. Vol. 48. P. 329–343.

30. Riesz F. Sur les functions subharmoniques et leur rapport а la thйorie du potentiel // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 321–360.