О некоторых арифметических применениях к теории симметрических групп

Аннотация

Работа посвящена некоторым арифметическим применениям к теории симметрических групп. С помощью свойств сравнений и классов вычетов из теории чисел установлено существование в симметрической группе 𝑆_𝑛 степени 𝑛 циклических, абелевых и неабелевых подгрупп соответственно порядков 𝑘, 𝜙(𝑘) и 𝑘𝜙(𝑘), где 𝑘 ≤ 𝑛, 𝜙 – функция Эйлера, т.е. получены представления групп (Z/𝑘Z, +), (Z/𝑘Z)* и их произведения через подстановки степени 𝑘. При этом изоморфные вложения этих групп строятся, следуя доказательству теоремы Кэли, но наряду с этим используется понятие линейного перестановочного двучлена 𝑎𝑥 + 𝑏 кольца вычетов Z/𝑘Z, где НОД(𝑎, 𝑘) = 1.
Кроме того, результат, относящийся к изоморфному вложению группы (Z/𝑘Z)* в группу 𝑆_𝑘 распространяется на знакопеременную группу 𝐴_𝑘 при нечётных 𝑘.
Во второй части работы рассматриваются некоторые применения теории простых чисел к циклическим подгруппам симметрической группы 𝑆_𝑛. В частности, применяя формулу
суммирования Эйлера-Маклорена и оценки для 𝑘-го простого числа, получена нижняя оценка для максимального числа простых делителей порядков циклических подгрупп в симметрической группе 𝑆_𝑛.