О биективных функциях от фиксированных переменных в поле Галуа из 𝑝^𝑘 элементов и на кольце целых 𝑝-адических чисел для нечетного простого числа 𝑝

В настоящей работе даются необходимые и достаточные условия, при которых функция от фиксированных переменных 𝜓: F^(𝑖+1)_𝑞 → F_𝑞 является биективной, где 𝑖 ∈ N ∪ {0}, F^(𝑖+1)_𝑞 —
(𝑖 + 1)-я декартова степень поля Галуа F𝑞 из 𝑞 = 𝑝^𝑘 элементов, 𝑝 — нечетное простое число, и 𝑘 ∈ N. Кроме того, используются такие условия биективных функций 𝜓 от фиксированных переменных, чтобы написать критерий, сохраняющих меру Хаара из важного класса 1-липшицевых функций в терминах их координатных функций на кольце целых 𝑝-адических чисел Z𝑝,     𝑝 ̸= 2. В частности, представление 1-липшицевых функций
в терминах их координатных функций на кольце целых 2-адических чисел Z_2 оказалось общим и полезным инструментом для получения математических результатов, прикладываемых в криптографии. В этой работе продолжается исследование такого представления 1-липшицевых функций на кольце целых 𝑝-адических Z_𝑝 при 𝑝 ̸= 2 с особым вниманием к представлению биективных 1-липшицевых функций в терминах их координатных
функций на Z_𝑝, 𝑝 ̸= 2.

1. Lausch H., N¨obauer W. Algebra of Polynomials//North-Holl. Publ. Co, American Elsevier Publ. Co. 1973.

2. Mahler, K. 𝑝-Adic Numbers and Their Functions//Cambridge University Press, Cambridge. 1981. 2nd.

3. Koblitz, N. 𝑝-adic numbers, 𝑝-adic analysis, and zeta-functions//Springer, Berlin. 1984. Vol. 58. 2nd.

4. Schiknof, W. H. Ultrametric Calculus//Cambridge University Press, Cambridge. 1984.

5. Лидл Р., Нидеррайтер Г., Конечные поля//Мир. Москва. 1988.

6. Анашин В. С., Равномерно распределенные последовательности целых 𝑝-адических чисел//Матем. заметки. 55. № 2. С. 3–46. 1994.

7. Anashin V., Khrennikov A. Applied Algebraic Dynamics//De Gruyter Expositions in Mathematics. Vol. 49, Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2009.

8. Durand, F., Paccaut, F. Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic integers//Bull. London Math. Soc. 2009. Vol. 42, № 2, P. 302-314.

9. Шафаревич И.Р., Ремизов А.О., Линейная алгебра и геометрия//Физматлит. 2009.

10. Khrennikov A., Yurova E. Criteria of ergodicity for 𝑝-adic dynamical systems in terms of coordinate functions//Chaos, Solitons and Fractals. Vol. 60. P. 11–30. 2014.

11. Yurova E. A., Khrennikov A. Y., Generalization of Hensel lemma: finding the roots of p-adic Lipschitz functions//J. Number Theory. Vol. 158, P. 217–233. 2016.

12. Memic, N. Ergodicity conditions on the group of 3-adic integers// Colloquium Mathematicum. 2016.

13. Memic, N. Ergodic Polynomials on Subsets of 𝑝-Adic Integers//𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2016. Vol. 8. № 2. P. 149-159.

14. Юрова Аксельссон Е. И., Хренников А. Ю. Подкоординатное представление p-адических функций и обобщение леммы Гензеля//Изв. РАН. Сер. матем. 2018. 82, № 3. C. 192-206.

15. Wang, S., Hu, B., Liu, Y. The autocorrelation properties of single cycle polynomial Tfunction// Des. Codes Cryptogr. 2018. Vol. 86. P. 1527-1540.

16. Sangtae, J. Measure-preservation and the existence of a root of p-adic 1-Lipschitz functions in Mahlers expansion//𝑝-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2018. Vol. 10, № 3. P. 192-208.

17. da Silva, D. W., de Araujo, C. P., Chow, E., Barillas, B. S. A new approach towards fully homomorphic encryption over geometric algebra//IEEE/10th Annual Ubiquitous Computing, Electronics & Mobile Communication Conference (UEMCON). 2019. P. 0241-0249.

18. Khrennikov, A. Y., Yurova, E. A. Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the p-adic model of encryption//Springer. 2019. P. 241-148.

19. Khrennikov A. Y., Yurova E. A. Description of (fully) homomorphic cryptographic primitives within the p-adic model of encryption. In Analysis, Probability, Applications, and Computation, pages//Springer. 2019. P. 241–248.

20. Furno, J. Natural extensions for 𝑝-adic 𝛽-shifts and other scaling maps//Indagationes Mathematicae. 2019. Vol. 30. P. 1099-1108.

21. Kim D., Kwon Y., K. Song K. Minimality of 5-adic polynomial dynamical systems//Dynamical Systems: An International Journal. 2020. Vol. 35. №. 4, P. 584-596.

22. da Silva, D. W. A Mathematical Framework Towards Efficient Clifford-Based Homomorphic Cryptosystems Using p-Adic Numbers//University of Colorado Colorado Springs. 2020.

23. Memi´c , N. Mahler coefficients of uniformly differentiable functions modulo 𝑝// International Journal of Number Theory. 2020.

24. Gouvˆea, F. Q. 𝑝-adic Numbers An Introduction//Springer. 2020. 3rd.

25. da Silva, D. W., Harmon, L. and Delavignette, G., Araujo, C. Leveled Fully Homomorphic Encryption Schemes with Hensel Codes//Cryptology ePrint Archive. 2021.

26. Anashin, V. S. The 𝑝-adic Theory of Automata Functions//Springer. 2021. 9-113.

27. Memic, N. Mahler Coefficients of Some 3-adic Ergodic Functions//Acta Mathematica Vietnamica. 2021.

28. Z´u˜niga-Galindo, W., Bourama, T. Advances in Non-Archimedean Analysis and Applications: The 𝑝-adic Methodology in STEAM-H//Springer Nature. 2021.

29. Лопес А., О сохранении меры и эргодичности 1-липшицевых функций на кольце целых 3 -адических чисел в терминах координатных функций//Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычисл. матем. и киберн. № 2. C. 30-33. 2022.