ОЦЕНКА СНИЗУ КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Lp НА СФЕРЕ С ВЕСОМ ДАНКЛЯ, СВЯЗАННЫМ С ГРУППОЙ ДИЭДРА

В конце 80-х и начале 90-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C. F. Dunkl) создал основу для теории специальных функций многих переменных, связанных с группами отражений, и их интегральных преобразований в ряде своих работ. Эта теория получила развитие в работах многих математиков. В настоящее время эта теория получила название теории Данкля в математической литературе. Теория Данкля находит широкие применения в теории вероятностей, математической физике, теории приближений. Настоящая работа посвящена применению гармонического анализа Данкля в пространствах Lp на евклидовом пространстве R d и единичной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений, к задачам теории приближений. Задача нахождения точной константы в неравенстве Джексона, или константы Джексона, между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности является важной экстремальной задачей теории приближений. В работе рассматривается задача о константе Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной окружности S 1 с весом Данкля, связанным с группой диэдра Im, m ∈ N. Наилучшее приближение осуществляется подпространством κ-сферических гармоник, определяемых с помощью лапласиана Данкля. Модуль непрерывности опреде- ляется с помощью оператора обобщенного сдвига, впервые появившегося в работах Ю. Шу. В случае единичного веса, т. е. когда функция кратности κ на системе корней тождественно равняется нулю, неравенство Джексона на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с константой 2 1/p−1 , совпадающей с константой Юнга пространства Lp, было доказано Д. В. Горбачевым. Он же установил точность этой константы. Неравенство Джексона с той же константой в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, инвариантным относительно произвольной конечной группы отражений, было получено автором ранее. Теперь в работе получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной евклидовой окружности S 1 с весом Данкля, инвариантным относительно группы диэдра Im, m ∈ N. При m ≥ 3 группы диэдра — группы симметрий правильных m-угольников в R 2 . При решении поставленной задачи мы существенно используем подход, разработанный В. И. Ивановым совместно с Лю Юнпином. При этом преодолеваются дополнительные трудности, связанные с появлением в пространствах Lp[0, π], 1 ≤ p < 2, с весом |sin(t/2)| 2α+1| cos(t/2)| 2β+1 , α ≥ β ≥ −1/2, нового модуля непрерывности, определяемого с помощью несимметричного оператора обобщенного сдвига.

1. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere // Math. Z. 1988. V. 197. P. 33–60.

2. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311, № 1. P. 167–183.

3. Dunkl C.F. Operators commuting with Coxeter group actions on polynomials / Invariant Theory and Tableaux. Springer, 1990. P. 107–117.

4. Dunkl C.F. Integral kernels with reflection group invariance // Can. J. Math. 1991. V. 43, № 6. P. 1213–1227.

5. Dunkl C.F. Hankel transforms associated to finite reflection groups // Contemp. Math. 1992. V. 138. P. 123–138.

6. Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. Springer: New York, 2013. 440 p.

7. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 3–16.

8. Иванов В.И. Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона в разных Lp-нормах // Матем. заметки. 1992. Т. 52, № 3. С. 48–62.

9. Пичугов С.А. Константа Юнга пространства Lp // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 5. С. 604–614.

10. Иванов В.И., Пичугов С.А. Константы Юнга l n p -пространств // Матем. заметки. 1990. Т. 48, № 4. С. 37–47.

11. Иванов В.И. О связи констант Джексона и констант Юнга пространств Lp // Матем. заметки. 1995. Т. 58, № 6. С. 828–836.

12. Иванов В.И., Юнпин Лю Оценка снизу констант Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 59–69.

13. Черных Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0, 2π) (1 ≤ p < 2) с точной константой // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 232–241.

14. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки. 1994. Т. 56, № 2. С. 15–40.

15. Иванов В.И. Приближение в Lp кусочно-постоянными функциями // Ма- тем. заметки. 1988. Т. 44, № 1. С. 64–79.

16. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 50–62.

17. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p ≤ 2 с периодическим весом Якоби // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5–27.

18. Иванов В.И. Прямые и обратные теоремы теории приближения периодических функций в работах С. Б. Стечкина и их развитие // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 5–17.

19. Вепринцев Р.А. Некоторые вопросы гармонического анализа Данкля на сфере и шаре // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 6–26.

20. Вепринцев Р.А. Неравенство Джексона в пространствах Lp на сфере с весом Данкля // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 27–49.

21. Dunkl C.F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. Cambridge University Press, 2014. 420 p.

22. Andrews G.E., Askey R., Roy R. Special functions. Cambridge University Press, 1999. 664 p.

23. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

24. Бадков В.М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов. Учебное пособие. Екатеринбург: УрГУ, 2006. 132 с.

25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 295 с.

26. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 2005. 480 с.

27. Бадков В.М. Приближение функций частичными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. 1968. Т. 3, № 6. С. 671– 682.

28. Иванов В.И. Введение в теорию приближений. Тула: ТулГУ, 1999. 116 с.

29. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge University Press, 1990. 204 p.

30. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

31. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

32. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М.: Мир, 1983. 576 с.

33. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Lp. Тула: ТулГУ, 2010.